9.11 Sejam f(z) e g(z) duas funções complexas analíticas em z_{0}, e tais que f\left(z_{0}\right)=g\left(z_{0}\right)= 0 ; então existem as séries de Taylor
\begin{aligned} & f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}\left(z-z_{0}\right)^{n} \\\ & g(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{g^{(n)}}{n!}\left(z-z_{0}\right)^{n} \end{aligned}
Suponha que g^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0; usando os fatos acima, prove a Regra de l’Hôpital:
\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)}

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções analíticas em z_{0} com
f(z_{0})=g(z_{0})=0,
e que g'(z_{0})\neq0. Precisamos provar que
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)}{g(z)} \;=\;\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}.
A ideia é usar as séries de Taylor de f e g em torno de z_{0}.

Passo 2

Pelas hipóteses temos as expansões de Taylor válidas em alguma vizinhança de z_{0}:
f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}\,(z-z_{0})^{n}, \quad g(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{g^{(n)}(z_{0})}{n!}\,(z-z_{0})^{n}.
Em particular, os termos constantes são nulos pois f(z_{0})=g(z_{0})=0.

Passo 3

Separe o primeiro termo de cada série:
f(z) =(z-z_{0})\Bigl(\frac{f'(z_{0})}{1!}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{\,n-1}\Bigr) \equiv (z-z_{0})\,A(z),
g(z) =(z-z_{0})\Bigl(\frac{g'(z_{0})}{1!}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{g^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{\,n-1}\Bigr) \equiv (z-z_{0})\,B(z),
onde A(z) e B(z) são funções analíticas e, pelo desenvolvimento,
A(z_{0})=f'(z_{0}), \quad B(z_{0})=g'(z_{0})\neq0.

Passo 4

Para z\neq z_{0} obtemos
\frac{f(z)}{g(z)} =\frac{(z-z_{0})\,A(z)}{(z-z_{0})\,B(z)} =\frac{A(z)}{B(z)}.
Como A e B são contínuas em z_{0} e B(z_{0})\neq0, podemos passar ao limite:
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)}{g(z)} =\lim_{z\to z_{0}}\frac{A(z)}{B(z)} =\frac{A(z_{0})}{B(z_{0})} =\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}.

Resposta

\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)}{g(z)} =\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}.

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