9.11 Sejam
e
duas funções complexas analíticas em
, e tais que
0 ; então existem as séries de Taylor
Suponha que
; usando os fatos acima, prove a Regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções analíticas em
com
e que
. Precisamos provar que
A ideia é usar as séries de Taylor de
e
em torno de
.
Passo 2
Pelas hipóteses temos as expansões de Taylor válidas em alguma vizinhança de
:
Em particular, os termos constantes são nulos pois
.
Passo 3
Separe o primeiro termo de cada série:
onde
e
são funções analíticas e, pelo desenvolvimento,
Passo 4
Para
obtemos
Como
e
são contínuas em
e
, podemos passar ao limite: