9.8 Usando, obrigatoriamente, a transformação z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} e coordenadas polares, calcule a integral
\oint_{\mathscr{L}} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}}
onde \mathscr{L} é o círculo unitário z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{\mathscr{L}}\frac{dz}{z^{2}}
onde \mathscr{L} é o círculo unitário \lvert z\rvert=1. Vamos usar a parametrização z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} e coordenadas polares para transformar essa integral de contorno numa integral em \theta.

Passo 2

Parametrizamos o círculo por
z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},\quad dz=\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}d\theta,
com \theta variando de 0 a 2\pi.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\oint_{\mathscr{L}}\frac{dz}{z^{2}} =\int_{0}^{2\pi}\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}d\theta}{\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\bigr)^{2}} =\mathrm{i}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}d\theta.

Passo 4

Calculemos
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}d\theta =\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{-\mathrm{i}}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1-1}{-\mathrm{i}}=0,
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\oint_{\mathscr{L}}\frac{dz}{z^{2}} =\mathrm{i}\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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