9.9 Seja \mathscr{L} o semi-círculo de raio R do plano complexo tal que a parte imaginária de z é maior que ou igual a zero: \operatorname{Im} z \geq 0; calcule
\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{\mathscr{L}} \frac{\mathrm{d} z}{z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{R\to\infty}\int_{\mathscr{L}}\frac{\mathrm{d}z}{z},
onde \mathscr{L} é o semicírculo de raio R no semiplano superior ( \operatorname{Im}z\ge0). Vamos usar parametrização de contorno em variáveis complexas.

Passo 2

Parametrizamos o semicírculo por
z(\theta)=R\,e^{i\theta},\quad \theta\in[0,\pi].
Dessa forma,
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}=iR\,e^{i\theta},
ou seja, \mathrm{d}z=iR\,e^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{\mathscr{L}}\frac{\mathrm{d}z}{z} =\int_{0}^{\pi}\frac{iR\,e^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta}{R\,e^{i\theta}} =\int_{0}^{\pi}i\,\mathrm{d}\theta =i\pi.
Note que esse resultado não depende de R, de modo que
\lim_{R\to\infty}\int_{\mathscr{L}}\frac{\mathrm{d}z}{z}=i\pi.

Resposta

i\pi

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