Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
(derivada segunda de )

Passo 1

O exercício define uma transformação linear
T: mathscrPn(R)tomathscrPn(R) dada por
T§=p’’ (segunda derivada de p). O conteúdo é núcleo e imagem de transformações lineares em espaços de polinômios, e vamos precisar usar que a derivada reduz o grau do polinômio em 1 a cada aplicação.

Passo 2

Para encontrar o núcleo, resolvemos
T§=p’’=0. Isso significa que p’’(x)=0 para todo x, logo p é um polinômio de grau ≤1. Portanto
$$
\ker T={p(x)=ax+b:\ a,b\in\mathbb R}\n ker T=p(x)=ax+b: a,bin Rnéçãé
{1,,x}.
$$

Passo 3

Para encontrar a imagem, note que qualquer polinômio q de grau ≤n-2 é segunda derivada de algum p em mathscrPn (basta integrar duas vezes). Assim
ImT=mathscrPn-2( R)
que é de dimensão (n-2)+1=n-1. Uma base conveniente é
1,,x,,x^2,,dots,,x^n-2

Passo 4

(Observação: no caso n<2, temos ImT=0 e dimker T=n+1, mas normalmente assume-se n≥2 para a fórmula acima.)

Resposta

dim\ker T=2, base de \ker T={1,x}; dim\operatorname{Im}T=n-1, base de \operatorname{Im}T={1,x,x2,\dots,x{n-2}}.

Exercícios relacionados