Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
(derivada segunda de
)
Passo 1
O exercício define uma transformação linear
T: dada por
T§=p’’ (segunda derivada de p). O conteúdo é núcleo e imagem de transformações lineares em espaços de polinômios, e vamos precisar usar que a derivada reduz o grau do polinômio em 1 a cada aplicação.
T:
T§=p’’ (segunda derivada de p). O conteúdo é núcleo e imagem de transformações lineares em espaços de polinômios, e vamos precisar usar que a derivada reduz o grau do polinômio em 1 a cada aplicação.
Passo 2
Para encontrar o núcleo, resolvemos
T§=p’’=0. Isso significa que p’’(x)=0 para todo x, logo p é um polinômio de grau ≤1. Portanto
T§=p’’=0. Isso significa que p’’(x)=0 para todo x, logo p é um polinômio de grau ≤1. Portanto
$$
\ker T={p(x)=ax+b:\ a,b\in\mathbb R}\n
{1,,x}.
$$
Passo 3
Para encontrar a imagem, note que qualquer polinômio q de grau ≤n-2 é segunda derivada de algum p em
(basta integrar duas vezes). Assim
que é de dimensão
. Uma base conveniente é
Passo 4
(Observação: no caso n<2, temos
e
, mas normalmente assume-se n≥2 para a fórmula acima.)
Resposta
dim\ker T=2, base de \ker T={1,x}; dim\operatorname{Im}T=n-1, base de \operatorname{Im}T={1,x,x2,\dots,x{n-2}}.