Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
A transformação linear dada é T:
, definida por
. O que precisamos: encontrar o núcleo (conjunto de polinômios que vão em zero) e a imagem (conjunto de valores obtidos), bem como suas dimensões e bases.
Passo 2
Pela definição de núcleo, temos:
Isso significa que todo polinômio em
não tem termo constante. Logo, podemos escrever qualquer
como
. Da forma
vemos que uma base natural de
é
Como há
vetores independentes nessa base, concluímos que
.
Passo 3
Para a imagem, usamos a definição:
Como para cada
basta escolher o polinômio constante
para ter
, obtemos toda
. Logo,
. Uma base natural de
é
, e portanto
.