Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

A transformação linear dada é T: mathscrPn(R)toR, definida por T(p)=p(0). O que precisamos: encontrar o núcleo (conjunto de polinômios que vão em zero) e a imagem (conjunto de valores obtidos), bem como suas dimensões e bases.

Passo 2

Pela definição de núcleo, temos: ker(T)=pinmathscrPn(R)mid p(0)=0 Isso significa que todo polinômio em ker(T) não tem termo constante. Logo, podemos escrever qualquer p(x)inker(T) como p(x)=a1x+a2x^2+cdots+anx^n. Da forma p(x)=a1x+cdots+anx^n vemos que uma base natural de ker(T) é x,x^2,dots,x^n Como há n vetores independentes nessa base, concluímos que dimker(T)=n.

Passo 3

Para a imagem, usamos a definição: Im(T)=T(p)mid pinmathscrPn(R)subseteqR Como para cada rinR basta escolher o polinômio constante p(x)=r para ter T(p)=r, obtemos toda R. Logo, Im(T)=R. Uma base natural de R é 1, e portanto dimIm(T)=1.

Resposta

dimker(T)=n, base de ker(T): x,x^2,dots,x^n.
dimIm(T)=1, base de Im(T): 1.

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