1.11 Um tanque de guerra está com seu canhão disparando apenas na direção frontal. Seu deslocamento ocorre segundo a trajetória t onde t é o parâmetro tempo. Em que instante P=(5,16) deve atirar para alcançar um alvo na posição ?

Passo 1

O enunciado diz que o tanque se move segundo a curva gamma(t)=(t,t^2) e que o canhão dispara apenas na direção frontal, ou seja, na direção tangente à trajetória. Queremos achar o instante t tal que a reta tangente a gamma em t passe pelo ponto P=(5,16). Para resolver, vamos usar derivadas para obter a direção tangente e a equação de reta paramétrica.

Passo 2

Calculamos a derivada da trajetória, que nos dá a direção tangente em cada t: gamma'(t)=(1,2t)

Passo 3

A reta tangente em gamma(t) pode ser escrita de forma paramétrica como alpha(s)=gamma(t)+s,gamma'(t)=(t+s,;t^2+2t,s), onde s é o parâmetro ao longo da reta (o canhão dispara para s >0).

Passo 4

Para que alpha(s) atinja P=(5,16), igualamos as coordenadas:
  • Pela componente x: t+s=5implies s=5-t
  • Pela componente y: t^2+2t,s=16 Substituindo s=5-t obtemos: t^2+2t(5-t)=16implies -t^2+10t=16implies t^2-10t+16=0

Passo 5

Resolvendo a equação do segundo grau:
[t=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=\frac{10\pm6}{2}\implies t=8\quadou\quad t=2.

Passo 6

Escolhemos o valor que torna s=5-t positivo, pois o tiro é na direção frontal ( s>0). Para t=8, s=-3<0 (disparo para trás, não vale). Para t=2, s=3>0, então é essa a solução física.

Resposta

t=2

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