1.11 Um tanque de guerra está com seu canhão disparando apenas na direção frontal. Seu deslocamento ocorre segundo a trajetória
onde
é o parâmetro tempo. Em que instante
deve atirar para alcançar um alvo na posição
?
Passo 1
O enunciado diz que o tanque se move segundo a curva
e que o canhão dispara apenas na direção frontal, ou seja, na direção tangente à trajetória. Queremos achar o instante
tal que a reta tangente a
em
passe pelo ponto
. Para resolver, vamos usar derivadas para obter a direção tangente e a equação de reta paramétrica.
Passo 2
Calculamos a derivada da trajetória, que nos dá a direção tangente em cada
:
Passo 3
A reta tangente em
pode ser escrita de forma paramétrica como
onde
é o parâmetro ao longo da reta (o canhão dispara para s
).
Passo 4
Para que
atinja
, igualamos as coordenadas:
- Pela componente
: - Pela componente
: Substituindo obtemos:
Passo 5
Resolvendo a equação do segundo grau:
[t=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=\frac{10\pm6}{2}\implies t=8\quadou\quad t=2.
Passo 6
Escolhemos o valor que torna
positivo, pois o tiro é na direção frontal (
). Para
,
(disparo para trás, não vale). Para
,
, então é essa a solução física.