Determine o fluxo dos campos vetoriais dados abaixo, através do quadrado de lado 2 centrado na origem:
F=x i+y j

Passo 1

Temos o campo vec F = xhat i + yhat j e queremos achar o fluxo dele pelo quadrado de lado 2 centrado na origem. O assunto aqui é fluxo de campo vetorial, e vamos usar a propriedade da divergência junto com o Teorema de Green (ou Teorema de Gauss no plano).

Passo 2

Lembrando que a divergência de um campo vec F = (Fx,Fy) é definida por nablacdotvec F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y. No nosso caso,
nablacdotvec F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) = 1 + 1 = 2

Passo 3

Pelo Teorema de Green na forma de divergente, o fluxo total pela fronteira fechada C que circunda a região R é
ointC vec Fcdothat n,ds = integral duplaR nablacdotvec F,dA

Passo 4

No nosso caso, R é o quadrado de vértices (-1,-1), (1,-1), (1,1), (-1,1). Como nablacdotvec F = 2 é constante,
integral duplaR 2,dA = 2 times área(R)á

Passo 5

O quadrado tem lado 2, logo área(R)=2times2=4á. Portanto,
integral duplaR 2,dA = 2 times 4 = 8

Resposta

8

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