Determine o fluxo dos campos vetoriais dados abaixo, através do quadrado de lado 2 centrado na origem:
Passo 1
Temos o campo
e queremos achar o fluxo dele pelo quadrado de lado 2 centrado na origem. O assunto aqui é fluxo de campo vetorial, e vamos usar a propriedade da divergência junto com o Teorema de Green (ou Teorema de Gauss no plano).
Passo 2
Lembrando que a divergência de um campo
é definida por
. No nosso caso,
Passo 3
Pelo Teorema de Green na forma de divergente, o fluxo total pela fronteira fechada
que circunda a região
é
Passo 4
No nosso caso,
é o quadrado de vértices
,
,
,
. Como
é constante,
Passo 5
O quadrado tem lado 2, logo
. Portanto,
Resposta
8