Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
F=y^2 i-x^2 j através da circunferência de raio a centrada na origem.

Passo 1

O problema pede o fluxo do campo vetorial F=y^2,i-x^2,j através da circunferência de raio a centrada na origem, usando a integral de fluxo, e depois confirmar o resultado via teorema da divergência no plano. Vamos precisar parametrizar a curva, achar o vetor normal unitário para o contorno e calcular a integral de linha, e em seguida aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio a por
r(t)=l(acos t,,asin tr), tin[0,2pi]
O elemento de comprimento de arco é ds=a,dt e o vetor normal unitário para fora é radial,
n=(cos t,sin t)
Então
Fl(r(t)r)=l(a^2sin^2t,,-a^2cos^2tr)
e
Fcdotn=a^2(sin^2tcos t-cos^2tsin t)

Passo 3

O fluxo é
Phi=ointFcdotn,ds =integral0^2pia^2(sin^2tcos t-cos^2tsin t),a,dt =a^3integral0^2pi(sin^2tcos t-cos^2tsin t),dt
Para cada termo fazemos substituições do tipo u=sin t ou u=cos t, sempre com limites iguais, o que dá integral zero. Logo
Phi=0

Passo 4

Pelo teorema da divergência (no plano), o fluxo pelo contorno é
integral duplaD(nablacdotF),dA,
onde
nablacdotF=partialpartial x(y^2)+partialpartial y(-x^2)=0+0=0
Como a divergência é zero em toda a região interior, a integral dupla também é zero, confirmando o resultado.

Passo 5

Assim, tanto pela integral de fluxo direta quanto pela divergência, o fluxo é nulo.

Resposta

0

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