Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
através da circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 1
O problema pede o fluxo do campo vetorial
através da circunferência de raio
centrada na origem, usando a integral de fluxo, e depois confirmar o resultado via teorema da divergência no plano. Vamos precisar parametrizar a curva, achar o vetor normal unitário para o contorno e calcular a integral de linha, e em seguida aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Parametrizamos a circunferência de raio
por
O elemento de comprimento de arco é
Então
e
Passo 3
O fluxo é
Para cada termo fazemos substituições do tipo
ou
, sempre com limites iguais, o que dá integral zero. Logo
Passo 4
Pelo teorema da divergência (no plano), o fluxo pelo contorno é
onde
Como a divergência é zero em toda a região interior, a integral dupla também é zero, confirmando o resultado.
Passo 5
Assim, tanto pela integral de fluxo direta quanto pela divergência, o fluxo é nulo.
Resposta
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