Verificar o Teorema de Stokes nos casos seguintes :
$ S $ o triangulo de vertices
e
e
.
$ S $ o triangulo de vertices
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o triângulo S de vértices (1,0,0), (2,2,0), (1,1,0) no plano z=0 e o campo
. Vamos usar que o Teorema de Stokes diz
Então precisaremos calcular tanto a integral de linha em
quanto a integral de superfície de
.
Passo 2
Para a integral de linha
, orientamos S com normal para cima
, que cobra uma orientação CCW (anti-horária) vista do topo. A fronteira
passa pelos vértices em ordem (1,0)→(2,2)→(1,1)→(1,0). Em cada aresta temos
, pois
e
.
Parametrizamos e calculamos em cada trecho:
C1: de (1,0) a (2,2), . Então
Parametrizamos e calculamos em cada trecho:
C1: de (1,0) a (2,2),
C2: de (2,2) a (1,1),
. Então
C3: de (1,1) a (1,0),
. Então
Somando:
Passo 3
Calculamos agora o rotacional:
Como S está em z=0 e escolhemos
, temos
e
na projeção no plano xy.
A região D no plano xy é o triângulo com vértices (1,0), (2,2), (1,1). Para integrar em ordem x–y, note-se que
e
Assim
A região D no plano xy é o triângulo com vértices (1,0), (2,2), (1,1). Para integrar em ordem x–y, note-se que
Passo 4
Como a integral de linha deu
e a integral de superfície deu
, concluímos que o Teorema de Stokes se verifica para este caso.
Resposta
As duas integrais são iguais a
, logo o Teorema de Stokes está verificado.