Verificar o Teorema de Stokes nos casos seguintes :
$ S $ o triangulo de vertices S e (1,0,0),(2,2,0) e (1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o triângulo S de vértices (1,0,0), (2,2,0), (1,1,0) no plano z=0 e o campo vec F(x,y,z)=(0,x^2,0). Vamos usar que o Teorema de Stokes diz
ointpartial Svec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS
Então precisaremos calcular tanto a integral de linha em partial S quanto a integral de superfície de nablatimesvec F.

Passo 2

Para a integral de linha ointpartial Svec Fcdot dvec r, orientamos S com normal para cima (0,0,1), que cobra uma orientação CCW (anti-horária) vista do topo. A fronteira partial S passa pelos vértices em ordem (1,0)→(2,2)→(1,1)→(1,0). Em cada aresta temos vec Fcdot dvec r= x^2,dy, pois vec F=(0,x^2,0) e dvec r=(dx,dy,0).
Parametrizamos e calculamos em cada trecho:
C1: de (1,0) a (2,2), x=1+t, y=2t, tin[0,1], dy=2,dt. Então
integralC1x^2,dy=integral0^1(1+t)^2cdot2,dt=14/3
C2: de (2,2) a (1,1), x=2-t, y=2-t, tin[0,1], dy=-dt. Então
integralC2x^2,dy=-integral0^1(2-t)^2,dt=-7/3
C3: de (1,1) a (1,0), x=1, y=1-t, tin[0,1], dy=-dt. Então
integralC3x^2,dy=-1
Somando: 14/3-7/3-1=4/3

Passo 3

Calculamos agora o rotacional:
nablatimesvec F=(0,0,2x)
Como S está em z=0 e escolhemos vec n=(0,0,1), temos
(nablatimesvec F)cdotvec n=2x
e dS=dA na projeção no plano xy.
A região D no plano xy é o triângulo com vértices (1,0), (2,2), (1,1). Para integrar em ordem x–y, note-se que
1<= x<=2 e 2x-2<= y<= x Assim
integral duplaS2x,dS=integralx=1^2integraly=2x-2^x2x,dy,dx =integral1^2 2xl(x-(2x-2)r)dx =integral1^2(4x-2x^2)dx =4/3

Passo 4

Como a integral de linha deu 4/3 e a integral de superfície deu 4/3, concluímos que o Teorema de Stokes se verifica para este caso.

Resposta

As duas integrais são iguais a 4/3, logo o Teorema de Stokes está verificado.

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