Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
integralC F e é o circulo de centro r e de raio 1 percorrido no sentido horario.

Passo 1

Temos o campo vetorial vec F=(x-y^3,,x^3) e a curva C que é o círculo de centro (0,0) e raio 1 percorrido no sentido horário. Vamos calcular ointCvec Fcdot dvec r usando o Teorema de Green.

Passo 2

Por definição, a integral de linha é ointCvec Fcdot dvec r=ointC P,dx+Q,dy. Para orientação positiva (anti-horária) o Teorema de Green diz
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=3x^2, partial Ppartial y=-3y^2
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y=3x^2+3y^2=3(x^2+y^2)

Passo 4

Como a curva está orientada no sentido horário, temos
ointC,horárioP,dx+Q,dy=-integral duplaD3(x^2+y^2),dA á

Passo 5

Usando coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta), com x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta, calculamos:
integral duplaD3(x^2+y^2),dA=3integral0^2pi!integral0^1r^2cdot r,dr,dtheta =3integral0^2pidthetaintegral0^1r^3,dr =3cdot2picdottfrac14=tfrac3pi2

Passo 6

Aplicando o sinal negativo devido à orientação horária, concluímos que
ointCvec Fcdot dvec r=-tfrac3pi2

Resposta

-\nfrac{3\pi}{2}

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