(2,0 pontos) Se \mathbf{r}(t)=\left(e^{2 t}, e^{-2 t}, t e^{2 t}\right), encontre:
(a) \mathbf{r}^{'}(t);
(b) o vetor tangente unitário \mathrm{T}(0);
(c) as equações paramétricas da reta tangente à curva em t=0;

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\bigl(e^{2t},\,e^{-2t},\,t\,e^{2t}\bigr)
e pede: (a) sua derivada \mathbf{r}'(t); (b) o vetor tangente unitário \mathbf{T}(0); (c) as equações paramétricas da reta tangente em t=0. Vamos usar derivação componente a componente e, depois, normalizar o vetor velocidade em t=0.

Passo 2

Calculamos \mathbf{r}'(t) derivando cada componente de \mathbf{r}(t):
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)=2e^{2t},\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr)=-2e^{-2t},\quad \frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{2t}\bigr)=e^{2t}+2t\,e^{2t}.
Logo,
\mathbf{r}'(t)=\bigl(2e^{2t},\,-2e^{-2t},\,e^{2t}+2t\,e^{2t}\bigr).

Passo 3

Para obter \mathbf{T}(0), primeiro avaliamos \mathbf{r}'(0):
\mathbf{r}'(0)=\bigl(2e^{0},\,-2e^{0},\,e^{0}+2\cdot0\cdot e^{0}\bigr)=(2,\,-2,\,1).
Em seguida, calculamos sua norma:
\|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=3.
Finalmente, o vetor tangente unitário em t=0 é
\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} =\bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Para a reta tangente em t=0, usamos o ponto \mathbf{r}(0) e a direção \mathbf{r}'(0). Note que \mathbf{r}(0)=(e^{0},e^{0},0\cdot e^{0})=(1,1,0). Assim, as equações paramétricas da reta, tomando parâmetro s, são
x(s)=1+2s,\quad y(s)=1-2s,\quad z(s)=0+1\cdot s=s.

Resposta

(a) \mathbf{r}'(t)=\bigl(2e^{2t},\,-2e^{-2t},\,e^{2t}+2t\,e^{2t}\bigr)
(b) \mathbf{T}(0)=\bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\bigr)
(c) x=1+2s,\;y=1-2s,\;z=s

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