12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
10) \int \frac{3 x+6-(\sqrt{x})^{-1}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x + 6 - (\sqrt{x})^{-1}}{\sqrt{x}}\,dx
Usaremos manipulação algébrica para transformar a integral em soma de potências de x e, em seguida, aplicaremos a regra de potência \int x^{n}dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} (ou \int x^{-1}dx = \ln|x|).

Passo 2

Escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e dividimos cada termo do numerador por x^{1/2}:
\frac{3x}{x^{1/2}} = 3x^{1/2}, \quad \frac{6}{x^{1/2}} = 6x^{-1/2}, \quad \frac{(\sqrt{x})^{-1}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{-1/2}}{x^{1/2}} = x^{-1}.
Logo o integrando vira
3x^{1/2} + 6x^{-1/2} - x^{-1}.

Passo 3

Reescrevemos a integral como soma de termos simples:
\int \bigl(3x^{1/2} + 6x^{-1/2} - x^{-1}\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int 3x^{1/2}\,dx =3\cdot\frac{x^{3/2}}{\tfrac32} =2x^{3/2},
\int 6x^{-1/2}\,dx =6\cdot\frac{x^{1/2}}{\tfrac12} =12x^{1/2},
\int (-x^{-1})\,dx =-\ln\lvert x\rvert.
Somando e adicionando a constante C, obtemos a primitiva completa.

Resposta

2x^{3/2} \;+\;12x^{1/2}\;-\;\ln\lvert x\rvert\;+\;C.

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