11{ }^{\text {a }} Questão. Considere V=\mathbb{R}^{2} com bases
B=\{(1,0),(0,1)\}, \quad C=\{(1,1),(2,-1)\} .
Calcule:
a matriz de mudança de base [I]_{B}^{C};
as coordenadas de v=(5,3) na base C;
verifique a relação [v]_{C}=[I]_{B}^{C}[v]_{B}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} com as bases
B=\{(1,0),(0,1)\},\qquad C=\{(1,1),(2,-1)\}.
As perguntas são:
Calcular a matriz de mudança de base [I]_{B}^{C}.
Calcular as coordenadas de v=(5,3) na base C.
Verificar a relação [v]_{C}=[I]_{B}^{C}[v]_{B}.
Informações relevantes dadas:
Os vetores de B são os vetores canônicos (1,0) e (0,1).
Os vetores de C são c_{1}=(1,1) e c_{2}=(2,-1).
O vetor v=(5,3) está dado nas coordenadas canônicas (isto é, na base B).
Passo 2
O que é [I]_{B}^{C}? Vou explicar devagar e com calma. Considere a aplicação identidade I:V\to V (que manda cada vetor em si mesmo). A matriz [I]_{B}^{C} representa essa aplicação usando coordenadas da base B nas entradas (domínio) e coordenadas da base C nas saídas (contradomínio). Na prática, isso significa:
A coluna j-ésima de [I]_{B}^{C} é o vetor coluna com as coordenadas, na base C, do j-ésimo vetor da base B.
Isso porque, para um vetor w dado por coordenadas em B (ou seja [w]_{B}), a multiplicação [I]_{B}^{C}[w]_{B} deve produzir as coordenadas de w na base C, isto é [w]_{C}.
Portanto, para construir [I]_{B}^{C} precisamos escrever cada vetor de B (aqui (1,0) e (0,1)) como combinação linear dos vetores de C e usar esses coeficientes como colunas.
Passo 3
Vamos achar as coordenadas de (1,0)\) na base \(C\). Queremos \(a,b\) tais que
\[a(1,1)+b(2,-1)=(1,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} a+2b=1,\\[4pt] a-b=0. \end{cases}
Resolvo passo a passo: da segunda equação a-b=0\] vem \(a=b. Substituindo na primeira:
Agora as coordenadas de (0,1)\) na base \(C\). Queremos \(a,b\) com
\[a(1,1)+b(2,-1)=(0,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] a-b=1. \end{cases}
Da segunda equação a=1+b\]. Substituindo na primeira:
\[1+b + 2b =0 \implies 1+3b=0 \implies 3b=-1 \implies b=-\tfrac{1}{3}.\]
Então \(a=1+b=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
As coordenadas de v=(5,3) na base B (base canônica) são triviais: os coeficientes são as componentes do vetor. Logo
[v]_{B}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix}.]
Passo 7
Vou calcular as coordenadas de [v) na base C de duas maneiras: (A) resolvendo diretamente a combinação linear; (B) usando a matriz [I]_{B}^{C}.
(A) Procuramos x,y tais que
x(1,1)+y(2,-1)=(5,3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} x+2y=5,\\[4pt] x-y=3. \end{cases}
Da segunda equação x=3+y\]. Substituindo na primeira:
\[3+y + 2y =5 \implies 3+3y=5 \implies 3y=2 \implies y=\tfrac{2}{3}.\]
Então \(x=3+\tfrac{2}{3}=\tfrac{11}{3}.