11{ }^{\text {a }} Questão. Considere V=\mathbb{R}^{2} com bases
B=\{(1,0),(0,1)\}, \quad C=\{(1,1),(2,-1)\} .
Calcule:
  • a matriz de mudança de base [I]_{B}^{C};
  • as coordenadas de v=(5,3) na base C;
  • verifique a relação [v]_{C}=[I]_{B}^{C}[v]_{B}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} com as bases
B=\{(1,0),(0,1)\},\qquad C=\{(1,1),(2,-1)\}.
As perguntas são:
  1. Calcular a matriz de mudança de base [I]_{B}^{C}.
  2. Calcular as coordenadas de v=(5,3) na base C.
  3. Verificar a relação [v]_{C}=[I]_{B}^{C}[v]_{B}.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores de B são os vetores canônicos (1,0) e (0,1).
  • Os vetores de C são c_{1}=(1,1) e c_{2}=(2,-1).
  • O vetor v=(5,3) está dado nas coordenadas canônicas (isto é, na base B).

Passo 2

O que é [I]_{B}^{C}? Vou explicar devagar e com calma. Considere a aplicação identidade I:V\to V (que manda cada vetor em si mesmo). A matriz [I]_{B}^{C} representa essa aplicação usando coordenadas da base B nas entradas (domínio) e coordenadas da base C nas saídas (contradomínio). Na prática, isso significa:
  • A coluna j-ésima de [I]_{B}^{C} é o vetor coluna com as coordenadas, na base C, do j-ésimo vetor da base B.
Isso porque, para um vetor w dado por coordenadas em B (ou seja [w]_{B}), a multiplicação [I]_{B}^{C}[w]_{B} deve produzir as coordenadas de w na base C, isto é [w]_{C}.
Portanto, para construir [I]_{B}^{C} precisamos escrever cada vetor de B (aqui (1,0) e (0,1)) como combinação linear dos vetores de C e usar esses coeficientes como colunas.

Passo 3

Vamos achar as coordenadas de (1,0)\) na base \(C\). Queremos \(a,b\) tais que \[a(1,1)+b(2,-1)=(1,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} a+2b=1,\\[4pt] a-b=0. \end{cases}
Resolvo passo a passo: da segunda equação a-b=0\] vem \(a=b. Substituindo na primeira:
a+2a=1 \implies 3a=1 \implies a=\tfrac{1}{3}.
Como a=b, temos b=\tfrac{1}{3}.
Logo as coordenadas de (1,0) na base C são
\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora as coordenadas de (0,1)\) na base \(C\). Queremos \(a,b\) com \[a(1,1)+b(2,-1)=(0,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] a-b=1. \end{cases}
Da segunda equação a=1+b\]. Substituindo na primeira: \[1+b + 2b =0 \implies 1+3b=0 \implies 3b=-1 \implies b=-\tfrac{1}{3}.\] Então \(a=1+b=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo as coordenadas de (0,1) na base C são
\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora monto a matriz [I]_{B}^{C} colocando as coordenadas de (1,0) e de (0,1) como primeira e segunda colunas, respectivamente. Assim
[I]_{B}^{C}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

As coordenadas de v=(5,3) na base B (base canônica) são triviais: os coeficientes são as componentes do vetor. Logo
[v]_{B}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Vou calcular as coordenadas de [v) na base C de duas maneiras: (A) resolvendo diretamente a combinação linear; (B) usando a matriz [I]_{B}^{C}.
(A) Procuramos x,y tais que
x(1,1)+y(2,-1)=(5,3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} x+2y=5,\\[4pt] x-y=3. \end{cases}
Da segunda equação x=3+y\]. Substituindo na primeira: \[3+y + 2y =5 \implies 3+3y=5 \implies 3y=2 \implies y=\tfrac{2}{3}.\] Então \(x=3+\tfrac{2}{3}=\tfrac{11}{3}.
Portanto
[v]_{C}=\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 8

(B) Agora verifico multiplicando a matriz de mudança de base pelo vetor de coordenadas em B:
[I]_{B}^{C}[v]_{B} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação passo a passo:
  • Primeira componente: \tfrac{1}{3}\cdot 5 + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = \tfrac{5}{3} + \tfrac{6}{3} = \tfrac{11}{3}.
  • Segunda componente: \tfrac{1}{3}\cdot 5 + \big(-\tfrac{1}{3}\big)\cdot 3 = \tfrac{5}{3} - \tfrac{3}{3} = \tfrac{2}{3}.
Portanto
[I]_{B}^{C}[v]_{B}=\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}=[v]_{C},
o que verifica a relação pedida.]

Resposta

[I]_{B}^{C}=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}
[v]_{C}=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}
[I]_{B}^{C}[v]_{B}=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}=[v]_{C}]

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