\mathbf{1 2}^{\mathbf{a}} Questão. Determine a inversa da matriz
A=\left(\begin{array}{ll} a & 2 \\\\ 3 & b \end{array}\right)
indicando as condições sobre a e b para que A seja invertível.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} a & 2 \\\\ 3 & b \end{array}\right)
e pede duas coisas: (1) determinar a inversa de A (isto é, A^{-1}) e (2) indicar as condições sobre a e b para que A seja invertível. As informações relevantes são os quatro elementos a, 2, 3 e b da matriz A.
Passo 2
Antes de tentar achar A^{-1} precisamos saber quando a matriz é invertível. Para uma matriz 2\times2
M=\left(\begin{array}{ll} p & q\\\ r & s \end{array}\right)
o determinante é
\det(M)=ps-qr.
Esse número mede, entre outras coisas, se a matriz tem inversa: M é invertível se, e somente se, \det(M)\neq0. Aqui, aplicando a fórmula ao nosso A temos
\det(A)=ab- (2\cdot 3)=ab-6.
Portanto a condição necessária e suficiente para A ser invertível é
ab-6\neq0.
Passo 3
Agora vamos achar explicitamente a inversa. Uma maneira direta e didática é resolver a equação matricial
A X = I,
onde X é a matriz desconhecida 2\times2 que será A^{-1} e I é a matriz identidade
X=\left(\begin{array}{ll} x & y\\\ z & w \end{array}\right).
A multiplicação A X dá um sistema para cada coluna de X.
Passo 4
Primeira coluna: multiplicando A\) pela primeira coluna de \(X\) obtemos
\[\left(\begin{array}{ll} a & 2 \\\\ 3 & b \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} x\\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1\\\\ 0 \end{array}\right).
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} a x + 2 z = 1,\\[4pt] 3 x + b z = 0. \end{cases}
Resolvendo por regra de Cramer (ou eliminando): o determinante do sistema é (D=ab-6]. Aplicando Cramer: x=\frac{\begin{vmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & b\end{vmatrix}}{D}=\frac{1\cdot b-2\cdot0}{ab-6}=\frac{b}{ab-6},
Segunda coluna: multiplicando A\) pela segunda coluna de \(X\) obtemos
\[\left(\begin{array}{ll} a & 2 \\\\ 3 & b \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} y\\\ w \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0\\\\ 1 \end{array}\right).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a y + 2 w = 0,\\[4pt] 3 y + b w = 1. \end{cases}
É comum factorar 1/(ab-6) e escrever de forma compacta:
A^{-1}=\frac{1}{ab-6}\left(\begin{array}{rr} b & -2\\[4pt] -3 & a \end{array}\right).
Observação didática: isso bate com a fórmula padrão para a inversa de uma matriz 2\times2, que troca os elementos da diagonal principal e muda o sinal dos elementos fora da diagonal, dividindo pelo determinante.]
Resposta
Condição de invertibilidade: ab-6\neq0.
Inversa quando ab-6\neq0:
A^{-1}=\frac{1}{ab-6}\left(\begin{array}{rr} b & -2\\[4pt] -3 & a \end{array}\right).]