3-11 The gage pressure in a liquid at a depth of 3 m is read to be 28 kPa . Determine the gage pressure in the same liquid at a depth of 12 m .

Passo 1

O enunciado dá a pressão de gage a uma certa profundidade e pede a pressão de gage a outra profundidade. Dados e pedido:
  • Profundidade inicial: \,3\\ \text{m}\,.
  • Pressão de gage à profundidade \,3\\ \text{m}\,: \,28\\ \text{kPa}\,.
  • Profundidade desejada: \,12\\ \text{m}\,.
    Pergunta: determinar a pressão de gage no mesmo líquido à profundidade de \,12\\ \text{m}\,.

Passo 2

Conceito e fórmula principal (aula rápida): a pressão em um ponto dentro de um líquido em repouso aumenta com a profundidade porque o peso do fluido acima exerce força sobre a área. A fórmula que relaciona a pressão de gage (pression relativa à atmosfera) com a profundidade é
p_{\text{gage}}=\rho g h,
onde:
  • \rho é a massa volúmica (densidade) do líquido, em \,\text{kg/m}^3,;
  • g é a aceleração da gravidade, em \,\text{m/s}^2, (usualmente g\approx 9,81\\ \text{m/s}^2); ;
  • h é a profundidade medida a partir da superfície livre, em \,\text{m},.
    Observação importante: pressão de gage significa que a pressão atmosférica foi subtraída; por isso só aparece a contribuição \rho g h.

Passo 3

Como a densidade \rho e g são constantes para o mesmo líquido e na mesma gravidade, a pressão de gage é diretamente proporcional à profundidade. Portanto podemos usar a razão
\frac{p_2}{p_1}=\frac{h_2}{h_1}.
Aqui \,p_1=28\\ \text{kPa}\, em \,h_1=3\\ \text{m}\, e queremos \,p_2 em \,h_2=12\\ \text{m}\,.

Passo 4

Aplicando a razão e calculando passo a passo:
p_2 = p_1\frac{h_2}{h_1}
p_2 = 28\\ \text{kPa}\times\frac{12}{3}
p_2 = 28\\ \text{kPa}\times 4
p_2 = 112\\ \text{kPa}.
Ou seja, quadrupla porque a profundidade quadrupla de 3\\ \text{m} para 12\\ \text{m}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): podemos extrair a densidade do dado inicial e recalcular. Da fórmula \,p=\rho g h, temos
\rho=\frac{p_1}{g h_1}=\frac{28\\ \text{kPa}}{9,81\\ \text{m/s}^2\times 3\\ \text{m}}=\frac{28\,000\\ \text{Pa}}{29,43\\ \text{m}^2/\text{s}^2}\approx 951,99\\ \text{kg/m}^3.
Usando essa \rho para h_2=12\\ \text{m}:
p_2=\rho g h_2\approx 951,99\times 9,81\times 12\\ \text{Pa}\approx 112\,068\\ \text{Pa}\approx 112\\ \text{kPa},
confirmação do resultado anterior. Boa! Você conseguiu — só multiplicar proporcionalmente.

Resposta

112\\ \text{kPa}

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