11(Uerj 2002) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor.
Passo 1
O fruticultor no dia
colhe
frutas e vende cada uma por R$
. A cada dia que passa o número de frutas aumenta em
e o preço por fruta decresce R$
. Vamos modelar a receita diária usando progressões aritméticas e depois achar o dia que maximiza essa receita via vértice de parábola.
Passo 2
Seja
o dia de colheita (com
no primeiro dia). O preço por fruta em
é uma progressão aritmética de primeiro termo
e razão
. Logo
Passo 3
O número de frutas colhidas em
também é progressão aritmética de primeiro termo
e razão
. Assim
Passo 4
A receita
é o produto
. Temos
Multiplicando e recolhendo termos,
Passo 5
Essa é uma parábola côncava para baixo (
), cujo vértice dá o dia de receita máxima em
Como
deve ser inteiro e positivo, o dia de maior ganho é o
-º dia.
Resposta
a) A receita no dia
é
b) O dia de colheita que maximiza o ganho é o dia
.