11(Uerj 2002) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor.

Passo 1

O fruticultor no dia colhe frutas e vende cada uma por R$ . A cada dia que passa o número de frutas aumenta em e o preço por fruta decresce R$ . Vamos modelar a receita diária usando progressões aritméticas e depois achar o dia que maximiza essa receita via vértice de parábola.

Passo 2

Seja d o dia de colheita (com d=1 no primeiro dia). O preço por fruta em d é uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão -0,02. Logo
p(d)=2 - 0,02,(d-1)

Passo 3

O número de frutas colhidas em d também é progressão aritmética de primeiro termo 80 e razão 1. Assim
q(d)=80 + (d-1) = d + 79

Passo 4

A receita R(d) é o produto p(d)cdot q(d). Temos
R(d) = l(d+79r)l(2 - 0,02,(d-1)r) = (d+79)(2,02 - 0,02,d)
Multiplicando e recolhendo termos,
R(d) = -0,02,d^2 + 0,44,d + 159,58

Passo 5

Essa é uma parábola côncava para baixo ( a=-0,02<0), cujo vértice dá o dia de receita máxima em
dv = -b2a = -0,442cdot(-0,02) = 11
Como d deve ser inteiro e positivo, o dia de maior ganho é o 11-º dia.

Resposta

a) A receita no dia d é
R(d) = (d+79)l(2 - 0,02,(d-1)r)
b) O dia de colheita que maximiza o ganho é o dia 11.

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