Calcule o trabalho de uma força descrita pelo campo vetorial F(x, y)=(1, y, y x^2), ao longo da curva r(t)=(2, cos (t), sin (t)), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F(x,y,z)=(1,y,yx^2) ao longo da curva vec r(t)=(2,cos t,sin t), tin[0,2pi].
Conteúdo: integral de linha em R^3. Fórmula chave:
W=integralCvec Fcdot dvec r =integral0^2pivec Fl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t),dt

Passo 2

Substituímos vec r(t) em vec F. Como x=2, y=cos t, z=sin t,
vec Fl(vec r(t)r) =l(1,;cos t,;cos tcdot 2^2r) =(1,;cos t,;4cos t)

Passo 3

Calculamos o vetor velocidade vec r,'(t):
vec r,'(t) =ddt(2,cos t,sin t) =(0,,-sin t,;cos t)

Passo 4

Formamos o produto escalar
vec Fl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t) =1cdot 0+(cos t)(-sin t)+(4cos t)(cos t) =-cos t,sin t+4cos^2 t
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W=integral0^2pil(-cos t,sin t+4cos^2 tr),dt

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^2pi-cos t,sin t,dt e 4integral0^2picos^2 t,dt
  1. Para integral0^2pi-cos t,sin t,dt, faça u=cos t, du=-sin t,dt; os limites vão de u(0)=1 a u(2pi)=1, então dá zero.
  2. Para integral0^2picos^2 t,dt use a identidade cos^2 t=(1+cos2t)/2, obtendo
integral0^2picos^2 t,dt =integral0^2pi1+cos2t2,dt =12l[2pi+0r] =pi
Multiplicando por 4, dá 4pi.

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo da curva é 4pi.

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