Calcule o trabalho realizado pela força F(x, y, z)=(-x, x^3, x y z) realizado pelo vento, ao se mover uma partícula através do segmento de reta que liga o ponto inicial A=(1,2,1) ao ponto final B=(-1,0,3).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F(x,y,z)=(-x,,x^3,,x y z) ao longo do segmento de reta de A=(1,2,1) até B=(-1,0,3).
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, que exige parametrizar a curva, calcular vec F( r(t)), o vetor diferencial r'(t), fazer o produto escalar e integrar de t=0 a t=1.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo A a B por
r(t)=A+t,(B-A) =(1,2,1)+t,((-1,0,3)-(1,2,1)) =(1-2t,;2-2t,;1+2t), 0<= t<=1

Passo 3

Substituímos na força:
x=1-2t, y=2-2t, z=1+2t,
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vec F( r(t)) =l(-(1-2t),;(1-2t)^3,;(1-2t)(2-2t)(1+2t)r)

Passo 4

O vetor diferencial é
r'(t)=l(-2,,-2,,2r)
O produto escalar fica
vec F( r(t))cdot r'(t) =2(1-2t)-2(1-2t)^3+2(1-2t)(2-2t)(1+2t)
Ao expandir e somar termos obtém-se
4+4t-40t^2+32t^3

Passo 5

Finalmente o trabalho é
W=integralCvec Fcdot d r =integral0^1l(4+4t-40t^2+32t^3r),dt =l[4t+2t^2-tfrac403t^3+8t^4r]0^1 = tfrac23

Resposta

O trabalho realizado pela força é tfrac23.

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