Seja Gamma a fronteira do quadrado [0,1] times[0,1], orientada no sentido positivo. Calcule
ointGamma 2 y+sin x1+x^2 d x+x+e^y1+y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointGamma 2y+sin x1+x^2,dx + x+e^y1+y^2,dy
ao longo da fronteira Gamma do quadrado [0,1]times[0,1], orientada positivamente (sentido anti-horário).
Como Gamma é a fronteira de uma região simples no plano, vamos usar o Teorema de Green, que diz
ointGamma M,dx + N,dy = integral duplaRl(partial Npartial x - partial Mpartial yr),dA,
onde R=[0,1]times[0,1],
M(x,y)=2y+sin x1+x^2 e N(x,y)=x+e^y1+y^2.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x!l(x1+y^2 + e^y1+y^2r) = 11+y^2,
partial Mpartial y = partialpartial y!l(2y1+x^2 + sin x1+x^2r) = 21+x^2
Logo,
partial Npartial x - partial Mpartial y = 11+y^2 - 21+x^2

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointGamma M,dx + N,dy = integral duplaRl(11+y^2 - 21+x^2r),dA = integral0^1integral0^111+y^2,dx,dy - 2integral0^1integral0^111+x^2,dx,dy

Passo 4

Como as integrais separam,
integral0^1integral0^111+y^2,dx,dy = integral0^111+y^2,dy;integral0^1dx = l[arctan(y)r]0^1cdot 1 = pi4,
2integral0^1integral0^111+x^2,dx,dy = 2l[arctan(x)r]0^1cdot 1 = 2cdotpi4 = pi2
Portanto
ointGammaM,dx+N,dy = pi4 - pi2 = -pi4

Resposta

-tfracpi4

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