Calcule o trabalho de uma força descrita pelo campo vetorial F(x, y)=(y, y x^3), ao longo da curva r(t)=(cos (t), sin (t)), t in[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede o trabalho de uma força descrita pelo campo vetorial F(x,y)=(y,;yx^3) ao longo da curva de parâmetro r(t)=(cos t,;sin t), tin[0,pi]. Aqui vamos usar a definição de trabalho como integral de linha:
W = integralC Fcdot dr
e, em seguida, parametrizar C por t, calcular F(r(t)), r,'(t), formar o produto escalar e integrar de 0 a pi.

Passo 2

Primeiro, calculamos r,'(t). Como
r(t) = (cos t,;sin t),
temos
r,'(t) = (-sin t,;cos t)

Passo 3

Agora avaliamos F na curva:
x=cos t, y=sin t Longrightarrow F(r(t)) = (sin t,;sin tcos^3 t)
O produto escalar é
F(r(t))cdot r,'(t) = sin tcdot(-sin t) ;+;sin tcos^3 tcdotcos t = -sin^2 t + sin t,cos^4 t
Logo
W = integral0^pil(-sin^2 t + sin t,cos^4 tr),dt

Passo 4

Separemos em duas partes:
W = I1 + I2,
onde
I1 = -integral0^pisin^2 t,dt,
I2 = integral0^pisin t,cos^4 t,dt
Para I1, sabemos que
integral0^pisin^2 t,dt = pi2,
portanto
I1 = -pi2

Passo 5

Para I2, usamos a substituição u=cos t, du=-sin t,dt. Quando t=0, u=1; quando t=pi, u=-1. Então
I2 = integral0^pisin t,cos^4 t,dt = integralu=1^u=-1 -u^4,du = integral-1^1 u^4,du = 2integral0^1u^4,du = 2cdot15 = 25

Passo 6

Somando os dois resultados,
W = I1 + I2 = -pi2 + 25 = 25 - pi2

Resposta

boxedW = 25 - pi2

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