P2.110 Uma bola de tênis de mesa comum tem 3,81 \mathrm{~cm} de diâmetro e 2,6 \mathrm{~g} de massa. Calcule a (pequena) profundidade em que essa bola flutuará em água a 20^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} \mathrm{o} \mathrm{ar} padrão ao nível do mar se o empuxo do ar for (a) desprezado e (b) incluído.

Passo 1

O problema pede a profundidade h de imersão de uma bola de tênis de mesa (diametro D=3,81,cm, massa m=2,6,g) em água a 20^\circC, primeiro desprezando o empuxo do ar e depois incluindo-o. O conteúdo é o Princípio de Arquimedes: o empuxo iguala o peso aparente, e a parte submersa da esfera é um segmento esférico (spherical cap).

Passo 2

Calcular o raio da bola, o volume total da esfera e as densidades do sistema.
R = \frac{D}{2} = \frac{3{,}81\text{ cm}}{2} = 1{,}905\text{ cm} = 0{,}01905\text{ m}.
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (0{,}01905)^3 \approx 2{,}893\times10^{-5}\text{ m}^3.
m = 2{,}6\text{ g} = 2{,}6\times10^{-3}\text{ kg},\quad \rho_{\text{água}} \approx 998\;\text{kg/m}^3,\quad \rho_{\text{ar}} \approx 1{,}20\;\text{kg/m}^3.á

Passo 3

Desprezando o empuxo do ar, o princípio de Arquimedes dá
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g \;=\; m\,g \quad\Rightarrow\quad V_{\text{sub}} \;=\;\frac{m}{\rho_{\text{água}}}.áá
Como a imersão é pequena h\ll R, aproximamos o volume do segmento esférico por
V_{\text{sub}}\approx \pi\,R\,h^2.
Logo
\pi\,R\,h^2 = \frac{m}{\rho_{\text{água}}} \quad\Rightarrow\quad h = \sqrt{\frac{m}{\pi\,R\,\rho_{\text{água}}}}.áá

Passo 4

Substituindo os valores em unidades SI:
h = \sqrt{\frac{2{,}6\times10^{-3}}{\pi\times0{,}01905\times998}} \approx \sqrt{4{,}36\times10^{-5}} \approx 6{,}60\times10^{-3}\text{ m} = 6{,}60\text{ mm}.

Passo 5

Agora incluindo o empuxo do ar, o peso efetivo é
m_{\rm ef} = m - \rho_{\text{ar}}\,V_{\text{esfera}}.
Logo o volume submerso satisfaz
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g = m_{\rm ef}\,g \quad\Rightarrow\quad V_{\text{sub}} = \frac{m - \rho_{\text{ar}}\,V_{\text{esfera}}}{\rho_{\text{água}}}.áá
E novamente V_{\text{sub}}\approx\pi R h^2.

Passo 6

Calcular m_{\rm ef} e h ajustado:
m_{\rm ef} = 2{,}6\times10^{-3} - 1{,}20\times2{,}893\times10^{-5} \approx 2{,}6\times10^{-3} - 3{,}47\times10^{-5} = 2{,}565\times10^{-3}\text{ kg}.
h = \sqrt{\frac{m_{\rm ef}}{\pi\,R\,\rho_{\text{água}}}} = \sqrt{\frac{2{,}565\times10^{-3}}{\pi\times0{,}01905\times998}} \approx 6{,}56\times10^{-3}\text{ m} = 6{,}56\text{ mm}.á

Resposta

(a) h\approx6{,}60\text{ mm} desprezando o ar.
(b) h\approx6{,}56\text{ mm} incluindo o empuxo do ar.

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