PD2.6 Considere um balão de massa m com flutuação neutra na atmosfera, levando um conjunto pessoa/cesto de massa M>m. Discuta a estabilidade desse sistema às perturbações.
Passo 1
O enunciado trata de um balão de massa \,m que, sem carga, flutua “neutro” numa atmosfera estratificada (densidade decrescente com altura). A isso se soma um conjunto pessoa/cesto de massa M>m. O conteúdo here é equilíbrio de forças (empuxo vs peso) e estabilidade linear a pequenas perturbações verticais, usando o perfil de densidade \rho(z) da atmosfera e o volume aproximadamente constante do balão.
Passo 2
Escrevemos as duas forças no balão carregado:
– peso total
P=(m+M)\,g,
– empuxo
E(z)=\rho(z)\,V\,g,
onde V é o volume do balão (assumimos quase constante) e \rho(z) a densidade do ar a altitude z. No ponto de equilíbrio z=z_0 deve valer
Para ver estabilidade, consideramos um pequeno deslocamento \delta z em relação a z_0. Expandimos
\rho(z_0+\delta z)\approx \rho(z_0)+\rho'(z_0)\,\delta z
e, pela lei barométrica, \rho'(z_0)<0. O empuxo deslocado fica
E(z_0+\delta z) \approx\bigl[\rho(z_0)+\rho'(z_0)\,\delta z\bigr]V\,g =(m+M)g+\rho'(z_0)Vg\,\delta z.
Passo 4
O desnível de força resultante é
F_{\rm net} =E(z_0+\delta z)-P =\rho'(z_0)\,V\,g\;\delta z.
Como \rho'(z_0)<0, temos
F_{\rm net}=-\underbrace{\bigl|\rho'(z_0)\bigr|Vg}_{k>0}\,\delta z.
Isto é, se \delta z>0 (o balão sobe além de z_0), então F_{\rm net}<0 (força para baixo); se \delta z<0, então F_{\rm net}>0. Isso caracteriza uma força restauradora linear, típica de um equilíbrio estável.
Resposta
O sistema, carregado pela massa M>m, encontra-se em equilíbrio estável: pequenas perturbações verticais geram uma força restauradora que traz o balão de volta à altitude de equilíbrio.