*P6.114 Um soprador fornece ar padrão a um plenum que alimenta dois dutos horizontais de chapa metálica, de seção quadrada, com entradas em canto vivo. Um duto tem 30 m de comprimento e seção transversal de 150 mm por 150 mm . O outro duto tem 60 m de comprimento. Ambos descarregam na atmosfera. Quando a pressão do plenum é de 240 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} (manométrica), a vazão no duto mais longo é três vezes a vazão no duto mais curto. Estime as vazões volumétricas nos dutos e o tamanho da seção transversal do duto mais longo.

Passo 1

O enunciado dá um soprador que mantém o plenum a uma pressão manométrica de \,240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2. Esse plenum alimenta dois dutos horizontais quadrados, com entradas em canto vivo, que descarregam para a atmosfera. Dados e pedidos resumidos:
  • Duto curto:
    • comprimento \,L_s=30\\ \mathrm{m}.
    • seção quadrada com lado \,0{,}15\\ \mathrm{m} (portanto área \,A_s=0{,}15^2=0{,}0225\\ \mathrm{m}^2).
  • Duto longo:
    • comprimento \,L_\ell=60\\ \mathrm{m}.
    • seção quadrada com lado desconhecido \,a (área \,A_\ell=a^2).
  • Condição entre vazões:
    • a vazão volumétrica do duto longo é três vezes a do duto curto: Q_\ell = 3\,Q_s.
  • Pressão do plenum (manométrica): \Delta p = 240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 = p_{\text{plenum}}-p_{\text{atm}}.
O que se pede:
  • Estimar as vazões volumétricas \,Q_s e \,Q_\ell.
  • Estimar o lado \,a da seção quadrada do duto mais longo.

Passo 2

Como modelar a perda de pressão entre o plenum e a atmosfera? Vamos aplicar a equação de energia (Bernoulli com perdas) entre o plenum e a saída para a atmosfera, considerando perdas localizadas (entrada e descarga) e perdas por atrito. Em forma prática usamos a expressão em pressão:
\Delta p = \frac{1}{2}\,\rho\,V^2\left(K_{\text{entr}} + K_{\text{exit}} + f\,\frac{L}{D_h}\right),
onde:
  • \rho é a densidade do ar (vamos usar \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, valor padrão próximo do ambiente);
  • V é a velocidade média no duto considerado;
  • K_{\text{entr}} é o coeficiente de perda de entrada (para canto vivo, usuamente \,K_{\text{entr}}\approx 0{,}5);
  • K_{\text{exit}} é o coeficiente de perda de saída; quando o fluxo sai para um “reservatório”/atmosfera livre, é comum incluir K_{\text{exit}}=1 (isto incorpora a energia cinética que é “perdida” do ponto de vista do controle de energia);
  • f é o fator de atrito de Darcy–Weisbach (função do número de Reynolds e rugosidade);
  • L é o comprimento do duto;
  • D_h é o diâmetro hidráulico do duto.
Justificativa das escolhas numéricas simples:
  • adotamos K_{\text{entr}}=0{,}5 (entrada em canto vivo) e K_{\text{exit}}=1;
  • portanto as perdas menores somadas valem K_{\text{min}}=1{,}5.

Passo 3

Características geométricas e fórmulas úteis:
  • Área do duto curto: A_s = 0{,}15^2 = 0{,}0225\\ \mathrm{m}^2.
  • Diâmetro hidráulico do quadrado de lado a é D_h=a (para seção quadrada o diâmetro hidráulico é igual ao lado).
  • Para o duto curto: D_{h,s}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Relação entre vazão, área e velocidade: Q = V\,A.
  • Relação dada: \,Q_\ell = 3 Q_s\Rightarrow V_\ell A_\ell = 3 V_s A_s.

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio de pressão para cada duto (com \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3):
Para o duto curto (índice s):
\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho V_s^2\left(1{,}5 + f_s\frac{L_s}{D_{h,s}}\right).
Substituindo L_s/D_{h,s}=30/0{,}15=200 e \tfrac{1}{2}\rho=0{,}6, obtemos:
0{,}6\,V_s^2\left(1{,}5 + 200\,f_s\right)=240.
Simplificando:
V_s^2\left(1{,}5 + 200\,f_s\right)=400. \tag{1}
Para o duto longo (índice \ell), com lado a:
\Delta p = 0{,}6\,V_\ell^2\left(1{,}5 + f_\ell\frac{L_\ell}{a}\right),
com L_\ell=60\\ \mathrm{m}, então L_\ell/a=60/a. Mantemos essa equação para uso numérico depois.

Passo 5

Substituir a relação de vazões na equação do duto longo:
Da relação \,Q_\ell=3Q_s:
V_\ell = \frac{3 Q_s}{A_\ell} = \frac{3 V_s A_s}{a^2}.
Como A_s=0{,}0225\\ \mathrm{m}^2, temos:
V_\ell = \frac{3\cdot 0{,}0225\,V_s}{a^2} = \frac{0{,}0675\,V_s}{a^2}. \tag{2}
Substituímos (2) na equação do duto longo:
0{,}6\left(\frac{0{,}0675\,V_s}{a^2}\right)^{\!2}\left(1{,}5 + f_\ell\frac{60}{a}\right)=240.
Simplificando os coeficientes obtemos (após reorganizar):
V_s^2\left(1{,}5 + \frac{60\,f_\ell}{a}\right)=87804{,}9\,a^4\qquad(\text{valores numéricos arredondados}). \tag{3}é
As equações (1) e (3) formam o sistema não linear em V_s e a; além disso f_s e f_\ell dependem dos números de Reynolds correspondentes.

Passo 6

Modelo para o fator de atrito f e número de Reynolds:
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{\rho V D_h}{\mu},com \mu viscosidade dinâmica do ar. Usamos \mu=1{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valor aproximado a temperatura ambiente).
  • Para o fator de atrito usamos a aproximação empírica de Blasius (válida para tubos lisos e regime turbulento moderado): f \approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
Explicação rápida: essa fórmula dá um f decrescente quando a velocidade (e portanto \mathrm{Re}) aumenta. Como f depende de V, as equações são acopladas e resolvemos por iteração numérica.

Passo 7

Estratégia de solução (procedimento iterativo):
  1. Escolher um palpite para a.
  2. Resolver (1) para V_s iterando f_s (ou seja: chutar f_s, calcular V_s por (1), calcular \mathrm{Re}_s, atualizar f_s pela fórmula de Blasius, repetir até convergir).
  3. Calcular Q_s=V_s A_s e V_\ell por (2).
  4. Calcular \mathrm{Re}_\ell e f_\ell, então calcular a perda de pressão real no duto longo: \Delta p_\ell = 0{,}6\,V_\ell^2\left(1{,}5 + f_\ell\frac{60}{a}\right).
  5. Ajustar a até que \Delta p_\ell coincida com \Delta p=240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 (por tentativa e aproximação).
Vou mostrar as iterações principais (resumo numérico), para não ficar entediante, mas com explicação de cada passo numérico.

Passo 8

Iterações exemplares (resumo numérico):
  • Primeiro, para o duto curto resolvemos (1) iterativamente (exemplo de procedimento numérico usado em cada tentativa de a):
    • inicializamos f_s (ex.: 0{,}02);
    • calculamos V_s=\sqrt{400/(1{,}5+200 f_s)};
    • calculamos \mathrm{Re}_s= \rho V_s D_{h,s}/\mu e atualizamos f_s=0{,}3164\,\mathrm{Re}_s^{-1/4};
    • repetimos até f_s e V_s convergirem.
Agora aplicamos o esquema variando a. Vou mostrar três tentativas representativas:
Tentativa 1: a=0{,}30\\ \mathrm{m}
  • Iterando (1) chega-se a V_s\approx 8{,}93\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Então Q_s=V_s A_s \approx 8{,}93\cdot 0{,}0225 \approx 0{,}201\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Q_\ell=3Q_s\approx 0{,}603\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • A_\ell=0{,}30^2=0{,}09\\ \mathrm{m}^2 então V_\ell\approx 6{,}70\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Calculando \mathrm{Re}_\ell e usando Blasius obtém-se f_\ell\approx 0{,}0169.
  • A perda de pressão no duto longo resulta \Delta p_\ell \approx 131\\ \mathrm{Pa}, muito menor que 240\\ \mathrm{Pa}. Conclusão: a=0{,}30\\ \mathrm{m} é grande demais (velocidade no longo muito baixa).
Tentativa 2: a=0{,}20\\ \mathrm{m}
  • Iterando (1) obtém-se V_s\approx 8{,}94\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (praticamente igual, pois (1) não depende de a).
  • Q_s\approx 0{,}201\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, Q_\ell\approx 0{,}603\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • A_\ell=0{,}04\\ \mathrm{m}^2 então V_\ell\approx 15{,}09\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Calculando f_\ell e a perda, obtemos \Delta p_\ell\approx 817\\ \mathrm{Pa}, muito maior que 240\\ \mathrm{Pa}. Conclusão: a=0{,}20\\ \mathrm{m} é pequeno demais.
Tentativa 3 (busca interp. e refinamento): testar a entre 0{,}20 e 0{,}30. Após algumas iterações (refinamento por tentativa e interpolação) achou-se convergência em torno de
a \approx 0{,}262\\ \mathrm{m}.
Detalhes numéricos no ponto convergente:
  • Resolvendo (1) com o f_s correspondente dá V_s\approx 8{,}96\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Q_s = V_s A_s \approx 8{,}96\cdot 0{,}0225 \approx 0{,}202\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Q_\ell = 3 Q_s \approx 0{,}606\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Para a=0{,}262\\ \mathrm{m} temos A_\ell\approx 0{,}0686\\ \mathrm{m}^2 e V_\ell = \frac{Q_\ell}{A_\ell}\approx \frac{0{,}606}{0{,}0686}\approx 8{,}84\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Calcula-se \mathrm{Re}_s e \mathrm{Re}_\ell e aplica Blasius para obter f_s e f_\ell (valores aproximados f_s\approx 0{,}0174, f_\ell\approx 0{,}0158).
  • Substituindo na equação do duto longo resulta \Delta p_\ell\approx 240\\ \mathrm{Pa} (dentro do erro de arredondamento da iteração), ou seja, compatível com a pressão do plenum.

Passo 9

Interpretação final e sinais de confiança:
  • A solução encontrada respeita a condição Q_\ell=3Q_s e a mesma perda de pressão \Delta p=240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 em ambos os ramos, considerando perdas de entrada e saída e atrito estimado pela fórmula de Blasius.
  • Os resultados são estimativas (modelo empírico para f, valores médios de \rho e \mu) mas coerentes para engenharia prática.

Resposta

Q_s \approx 0{,}202\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
Q_\ell \approx 0{,}606\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
a \approx 0{,}262\\ \mathrm{m} (lado do quadrado, cerca de 262\\ \mathrm{mm}).

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