*P6.114 Um soprador fornece ar padrão a um plenum que alimenta dois dutos horizontais de chapa metálica, de seção quadrada, com entradas em canto vivo. Um duto tem 30 m de comprimento e seção transversal de 150 mm por 150 mm . O outro duto tem 60 m de comprimento. Ambos descarregam na atmosfera. Quando a pressão do plenum é de 240 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} (manométrica), a vazão no duto mais longo é três vezes a vazão no duto mais curto. Estime as vazões volumétricas nos dutos e o tamanho da seção transversal do duto mais longo.
Passo 1
O enunciado dá um soprador que mantém o plenum a uma pressão manométrica de \,240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2. Esse plenum alimenta dois dutos horizontais quadrados, com entradas em canto vivo, que descarregam para a atmosfera. Dados e pedidos resumidos:
Duto curto:
comprimento \,L_s=30\\ \mathrm{m}.
seção quadrada com lado \,0{,}15\\ \mathrm{m} (portanto área \,A_s=0{,}15^2=0{,}0225\\ \mathrm{m}^2).
Duto longo:
comprimento \,L_\ell=60\\ \mathrm{m}.
seção quadrada com lado desconhecido \,a (área \,A_\ell=a^2).
Condição entre vazões:
a vazão volumétrica do duto longo é três vezes a do duto curto:Q_\ell = 3\,Q_s.
Pressão do plenum (manométrica):\Delta p = 240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 = p_{\text{plenum}}-p_{\text{atm}}.
O que se pede:
Estimar as vazões volumétricas \,Q_s e \,Q_\ell.
Estimar o lado \,a da seção quadrada do duto mais longo.
Passo 2
Como modelar a perda de pressão entre o plenum e a atmosfera? Vamos aplicar a equação de energia (Bernoulli com perdas) entre o plenum e a saída para a atmosfera, considerando perdas localizadas (entrada e descarga) e perdas por atrito. Em forma prática usamos a expressão em pressão:
\Delta p = \frac{1}{2}\,\rho\,V^2\left(K_{\text{entr}} + K_{\text{exit}} + f\,\frac{L}{D_h}\right),
onde:
\rho é a densidade do ar (vamos usar \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, valor padrão próximo do ambiente);
V é a velocidade média no duto considerado;
K_{\text{entr}} é o coeficiente de perda de entrada (para canto vivo, usuamente \,K_{\text{entr}}\approx 0{,}5);
K_{\text{exit}} é o coeficiente de perda de saída; quando o fluxo sai para um “reservatório”/atmosfera livre, é comum incluir K_{\text{exit}}=1 (isto incorpora a energia cinética que é “perdida” do ponto de vista do controle de energia);
f é o fator de atrito de Darcy–Weisbach (função do número de Reynolds e rugosidade);
L é o comprimento do duto;
D_h é o diâmetro hidráulico do duto.
Justificativa das escolhas numéricas simples:
adotamos K_{\text{entr}}=0{,}5 (entrada em canto vivo) e K_{\text{exit}}=1;
portanto as perdas menores somadas valem K_{\text{min}}=1{,}5.
Passo 3
Características geométricas e fórmulas úteis:
Área do duto curto:A_s = 0{,}15^2 = 0{,}0225\\ \mathrm{m}^2.
Diâmetro hidráulico do quadrado de lado a é D_h=a (para seção quadrada o diâmetro hidráulico é igual ao lado).
As equações (1) e (3) formam o sistema não linear em V_s e a; além disso f_s e f_\ell dependem dos números de Reynolds correspondentes.
Passo 6
Modelo para o fator de atrito f e número de Reynolds:
Número de Reynolds:\mathrm{Re}=\frac{\rho V D_h}{\mu},com \mu viscosidade dinâmica do ar. Usamos \mu=1{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valor aproximado a temperatura ambiente).
Para o fator de atrito usamos a aproximação empírica de Blasius (válida para tubos lisos e regime turbulento moderado):f \approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
Explicação rápida: essa fórmula dá um f decrescente quando a velocidade (e portanto \mathrm{Re}) aumenta. Como f depende de V, as equações são acopladas e resolvemos por iteração numérica.
Passo 7
Estratégia de solução (procedimento iterativo):
Escolher um palpite para a.
Resolver (1) para V_s iterando f_s (ou seja: chutar f_s, calcular V_s por (1), calcular \mathrm{Re}_s, atualizar f_s pela fórmula de Blasius, repetir até convergir).
Calcular Q_s=V_s A_s e V_\ell por (2).
Calcular \mathrm{Re}_\ell e f_\ell, então calcular a perda de pressão real no duto longo:\Delta p_\ell = 0{,}6\,V_\ell^2\left(1{,}5 + f_\ell\frac{60}{a}\right).
Ajustar a até que \Delta p_\ell coincida com \Delta p=240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 (por tentativa e aproximação).
Vou mostrar as iterações principais (resumo numérico), para não ficar entediante, mas com explicação de cada passo numérico.
Passo 8
Iterações exemplares (resumo numérico):
Primeiro, para o duto curto resolvemos (1) iterativamente (exemplo de procedimento numérico usado em cada tentativa de a):
inicializamos f_s (ex.: 0{,}02);
calculamos V_s=\sqrt{400/(1{,}5+200 f_s)};
calculamos \mathrm{Re}_s= \rho V_s D_{h,s}/\mu e atualizamos f_s=0{,}3164\,\mathrm{Re}_s^{-1/4};
repetimos até f_s e V_s convergirem.
Agora aplicamos o esquema variando a. Vou mostrar três tentativas representativas:
Tentativa 1: a=0{,}30\\ \mathrm{m}
Iterando (1) chega-se a V_s\approx 8{,}93\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Então Q_s=V_s A_s \approx 8{,}93\cdot 0{,}0225 \approx 0{,}201\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
A_\ell=0{,}30^2=0{,}09\\ \mathrm{m}^2 então V_\ell\approx 6{,}70\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Calculando \mathrm{Re}_\ell e usando Blasius obtém-se f_\ell\approx 0{,}0169.
A perda de pressão no duto longo resulta \Delta p_\ell \approx 131\\ \mathrm{Pa}, muito menor que 240\\ \mathrm{Pa}. Conclusão: a=0{,}30\\ \mathrm{m} é grande demais (velocidade no longo muito baixa).
Tentativa 2: a=0{,}20\\ \mathrm{m}
Iterando (1) obtém-se V_s\approx 8{,}94\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (praticamente igual, pois (1) não depende de a).
A_\ell=0{,}04\\ \mathrm{m}^2 então V_\ell\approx 15{,}09\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Calculando f_\ell e a perda, obtemos \Delta p_\ell\approx 817\\ \mathrm{Pa}, muito maior que 240\\ \mathrm{Pa}. Conclusão: a=0{,}20\\ \mathrm{m} é pequeno demais.
Tentativa 3 (busca interp. e refinamento): testar a entre 0{,}20 e 0{,}30. Após algumas iterações (refinamento por tentativa e interpolação) achou-se convergência em torno de
a \approx 0{,}262\\ \mathrm{m}.
Detalhes numéricos no ponto convergente:
Resolvendo (1) com o f_s correspondente dá V_s\approx 8{,}96\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Calcula-se \mathrm{Re}_s e \mathrm{Re}_\ell e aplica Blasius para obter f_s e f_\ell (valores aproximados f_s\approx 0{,}0174, f_\ell\approx 0{,}0158).
Substituindo na equação do duto longo resulta \Delta p_\ell\approx 240\\ \mathrm{Pa} (dentro do erro de arredondamento da iteração), ou seja, compatível com a pressão do plenum.
Passo 9
Interpretação final e sinais de confiança:
A solução encontrada respeita a condição Q_\ell=3Q_s e a mesma perda de pressão \Delta p=240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 em ambos os ramos, considerando perdas de entrada e saída e atrito estimado pela fórmula de Blasius.
Os resultados são estimativas (modelo empírico para f, valores médios de \rho e \mu) mas coerentes para engenharia prática.
Resposta
Q_s \approx 0{,}202\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} Q_\ell \approx 0{,}606\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} a \approx 0{,}262\\ \mathrm{m} (lado do quadrado, cerca de 262\\ \mathrm{mm}).