P6.151 Uma engenheira precisa monitorar um escoamento de gasolina a
a cerca de
por um tubo liso de 100 mm de diâmetro. Ela pode usar uma placa de orifício, um bocal de raio longo ou um bocal venturi, todos com gargantas de 50 mm de diâmetro. O único medidor de pressão diferencial disponível tem precisão na faixa de 41.500 Pa a 69.000 Pa . Desprezando as perdas do escoamento, qual seria o melhor dispositivo?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pergunta: entre uma placa de orifício, um bocal de raio longo e um bocal venturi (todos com garganta de diâmetro
), qual é o melhor dispositivo para medir o escoamento dado usando um medidor de pressão diferencial cuja faixa útil é a ? - Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica nominal:
com incerteza . Convertendo para SI: - Tubo principal (entrada) diâmetro:
. - Garganta (throat) diâmetro:
. - Medidor de pressão diferencial disponível: faixa
a .
- Vazão volumétrica nominal:
- Condição adicional: desprezar perdas do escoamento (vamos usar Bernoulli + continuidade e incluir um coeficiente de descarga
para modelar efeito real dos dispositivos). - Observação: o enunciado não dá a densidade da gasolina; preciso de um valor numérico para calcular pressões — escolherei um valor típico e explico a escolha no passo seguinte.
Passo 2
Ferramenta teórica e derivação da relação entre vazão
e queda de pressão
Vou deduzir a fórmula que relaciona
e
para um medidor de pressão diferencial com garganta:
- Definições das variáveis:
-
: vazão volumétrica ( ). -
: área do tubo principal (seção antes do estrangulamento). -
: área da garganta (estrangulamento). -
: velocidade média no tubo principal. -
: velocidade média na garganta. -
: densidade do fluido ( ). -
: queda de pressão entre amostras. -
: razão de diâmetros. -
: coeficiente de descarga (adimensional), que mede a eficiência real do dispositivo (menor → maior perda).
-
- Continuidade:
- Bernoulli (desprezando perdas internas, mas depois incluindo
para o efeito prático): - Como
, então - Substituindo
e usando , reorganizamos para expressar em função de e . Após introduzir (que reduz a vazão efetiva para uma dada ), obtemos a forma prática: que, invertida para , dá - Observação didática: a queda de pressão cresce com
(portanto um aumento percentual na vazão aumenta em proporção quadrática). O termo aparece ao quadrado no denominador: um dispositivo com menor produzirá uma maior para mesma vazão.
Passo 3
Cálculo das áreas e da razão
- Área do tubo principal:
- Área da garganta:
- Razão de diâmetros:
- Cálculo auxiliar:
Passo 4
Escolha da densidade da gasolina e justificativa
- O enunciado dá só “gasolina a
”, sem densidade numérica. Gasolinas têm densidade típica na faixa a . Para cálculo numérico escolho um valor representativo e comum em problemas práticos: - Observação: um valor diferente de
mudaria numericamente proporcionalmente, mas não altera o raciocínio comparativo entre os dispositivos (pois todos usam a mesma ).
Passo 5
Escolha de coeficientes de descarga típicos
para cada dispositivo (valores típicos)
- Placa de orifício (borda afiada):
(valor típico para orifício padrão, depende de e Reynolds, aqui tomamos o valor clássico). - Bocal de raio longo (long-radius nozzle):
(bocais bem projetados têm elevado). - Bocal venturi:
(venturi é muito eficiente, próximo de 1). - Observação didática: quanto maior
, menor a perda de carga necessária para passar dada vazão — isso significa uma menor medida para o mesmo .
Passo 6
Colocar a expressão numérica para
e calcular um fator auxiliar
- Usando a fórmula
é conveniente calcular o fator - Numéricos:
- Então
- Para
:
Esse valor corresponde à
teórica supondo
. Para cada dispositivo dividimos por
.
Passo 7
Cálculo numérico de
nominal (
) para cada dispositivo
- Placa de orifício (
, ): - Bocal de raio longo (
, ): - Bocal venturi (
, ): - Observação imediata: todas essas quedas de pressão são da ordem de
a , ou dezenas a centenas de MPa, valores enormes comparados à faixa do instrumento (algumas dezenas de kPa). Isso já indica incompatibilidade.
Passo 8
Cálculo da faixa de
considerando a incerteza da vazão (
)
- Como
, calculemos fatores de escala:
- Intervalos de
resultantes: - Orifício:
- Orifício:
- Bocal de raio longo:
- Bocal venturi:
- Conclusão numérica: mesmo no caso mais favorável (venturi no menor fluxo) a
está ao redor de , ainda muito maior que a faixa do instrumento ( a ). A diferença é de três ordens de grandeza ou mais.
Passo 9
Interpretação física e recomendação
- Por que os números ficaram tão grandes? Porque a vazão dada é muito alta para um tubo de apenas
: para a velocidade média no tubo é e na garganta valores muito elevados (V2 ultrapassa a velocidade do som para gasolina/condições típicas), então o escoamento não está no regime prático para medidores simples e as hipóteses (incompressível, perdas desprezíveis) tornam-se duvidosas. Mas mesmo com as hipóteses, a queda de pressão calculada é gigantesca. - Entre os três dispositivos, o que é “melhor” no sentido de gerar a menor
(logo ficar mais perto da faixa do medidor)? O dispositivo com maior dá a menor . Assim, em ordem crescente de : - No entanto a diferença não é pequena: mesmo o venturi produz
da ordem de dezenas de MPa, bem acima da faixa do instrumento ( a ). Portanto, com os parâmetros dados e o medidor disponível, nenhuma das três opções é compatível sem alterar alguma coisa (por ex.: aumentar muito a garganta, reduzir o no sentido de aumentar área da garganta, reduzir a vazão real, ou usar um medidor de com faixa muito maior ou outro tipo de medidor).
Resposta
Bocal venturi (é o que produz a menor
); porém nenhuma das três opções gera uma queda de pressão na faixa
a
para o escoamento dado — todas excedem essa faixa por várias ordens de grandeza.