P6.151 Uma engenheira precisa monitorar um escoamento de gasolina a 20^{\circ} \mathrm{C} a cerca de 950 \pm 95 \mathrm{~L} / \mathrm{s} por um tubo liso de 100 mm de diâmetro. Ela pode usar uma placa de orifício, um bocal de raio longo ou um bocal venturi, todos com gargantas de 50 mm de diâmetro. O único medidor de pressão diferencial disponível tem precisão na faixa de 41.500 Pa a 69.000 Pa . Desprezando as perdas do escoamento, qual seria o melhor dispositivo?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pergunta: entre uma placa de orifício, um bocal de raio longo e um bocal venturi (todos com garganta de diâmetro 50\\ \mathrm{mm}), qual é o melhor dispositivo para medir o escoamento dado usando um medidor de pressão diferencial cuja faixa útil é 41{,}500\\ \mathrm{Pa} a 69{,}000\\ \mathrm{Pa}?
  • Dados fornecidos:
    • Vazão volumétrica nominal: Q = 950\\ \mathrm{L/s} com incerteza \pm 95\\ \mathrm{L/s}. Convertendo para SI: Q_{\text{nom}} = 0{,}95\\ \mathrm{m^3/s},\quad Q_{\min}=0{,}855\\ \mathrm{m^3/s},\quad Q_{\max}=1{,}045\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Tubo principal (entrada) diâmetro: D = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}1\\ \mathrm{m}.
    • Garganta (throat) diâmetro: d = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}.
    • Medidor de pressão diferencial disponível: faixa 41{,}500\\ \mathrm{Pa} a 69{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Condição adicional: desprezar perdas do escoamento (vamos usar Bernoulli + continuidade e incluir um coeficiente de descarga C_d para modelar efeito real dos dispositivos).
  • Observação: o enunciado não dá a densidade da gasolina; preciso de um valor numérico para calcular pressões — escolherei um valor típico e explico a escolha no passo seguinte.

Passo 2

Ferramenta teórica e derivação da relação entre vazão Q e queda de pressão \Delta p
Vou deduzir a fórmula que relaciona Q e \Delta p para um medidor de pressão diferencial com garganta:
  • Definições das variáveis:
    • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
    • A_1: área do tubo principal (seção antes do estrangulamento).
    • A_2: área da garganta (estrangulamento).
    • V_1: velocidade média no tubo principal.
    • V_2: velocidade média na garganta.
    • \rho: densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}).
    • \Delta p = p_1 - p_2: queda de pressão entre amostras.
    • \beta = d/D: razão de diâmetros.
    • C_d: coeficiente de descarga (adimensional), que mede a eficiência real do dispositivo (menor C_d → maior perda).
  • Continuidade: Q = A_1 V_1 = A_2 V_2.
  • Bernoulli (desprezando perdas internas, mas depois incluindo C_d para o efeito prático): \Delta p = \tfrac{1}{2}\rho\left(V_2^2 - V_1^2\right).
  • Como V_2 = \dfrac{A_1}{A_2}V_1 = \dfrac{1}{\beta^2}V_1, então \Delta p = \tfrac{1}{2}\rho V_1^2\!\left(\dfrac{1}{\beta^4}-1\right) = \tfrac{1}{2}\rho V_1^2\!\left(\dfrac{1-\beta^4}{\beta^4}\right).
  • Substituindo V_1 = Q/A_1 e usando A_2 = \beta^2 A_1, reorganizamos para expressar \Delta p em função de Q e A_2. Após introduzir C_d (que reduz a vazão efetiva para uma dada \Delta p), obtemos a forma prática: Q = C_d\,A_2\sqrt{\dfrac{2\,\Delta p}{\rho(1-\beta^4)}},que, invertida para \Delta p, dá \boxed{\Delta p \;=\; \dfrac{\rho\,(1-\beta^4)\,Q^2}{2\,C_d^2\,A_2^2}.}
  • Observação didática: a queda de pressão cresce com Q^2 (portanto um aumento percentual na vazão aumenta \Delta p em proporção quadrática). O termo C_d aparece ao quadrado no denominador: um dispositivo com C_d menor produzirá uma \Delta p maior para mesma vazão.

Passo 3

Cálculo das áreas e da razão \beta
  • Área do tubo principal: A_1 = \dfrac{\pi D^2}{4} = \dfrac{\pi (0{,}1)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}0025 = 0{,}0078539816\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da garganta: A_2 = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi (0{,}05)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}000625 = 0{,}0019634954\\ \mathrm{m^2}.
  • Razão de diâmetros: \beta=\dfrac{d}{D}=\dfrac{0{,}05}{0{,}1}=0{,}5.
  • Cálculo auxiliar: 1-\beta^4 = 1-(0{,}5)^4 = 1-0{,}0625 = 0{,}9375.

Passo 4

Escolha da densidade da gasolina e justificativa
  • O enunciado dá só “gasolina a 20^\circ\mathrm{C}”, sem densidade numérica. Gasolinas têm densidade típica na faixa \sim 720 a \sim 770\\ \mathrm{kg/m^3}. Para cálculo numérico escolho um valor representativo e comum em problemas práticos: \rho = 737\\ \mathrm{kg/m^3}\quad(\text{valor típico a }20^\circ\mathrm{C}).í
  • Observação: um valor diferente de \rho mudaria numericamente \Delta p proporcionalmente, mas não altera o raciocínio comparativo entre os dispositivos (pois todos usam a mesma \rho).

Passo 5

Escolha de coeficientes de descarga típicos C_d para cada dispositivo (valores típicos)
  • Placa de orifício (borda afiada): C_d\approx 0{,}61 (valor típico para orifício padrão, depende de \beta e Reynolds, aqui tomamos o valor clássico).
  • Bocal de raio longo (long-radius nozzle): C_d\approx 0{,}98 (bocais bem projetados têm C_d elevado).
  • Bocal venturi: C_d\approx 0{,}99 (venturi é muito eficiente, C_d próximo de 1).
  • Observação didática: quanto maior C_d, menor a perda de carga necessária para passar dada vazão — isso significa uma menor \Delta p medida para o mesmo Q.

Passo 6

Colocar a expressão numérica para \Delta p e calcular um fator auxiliar
  • Usando a fórmula \Delta p = \dfrac{\rho (1-\beta^4) Q^2}{2 C_d^2 A_2^2},é conveniente calcular o fator K \;=\; \dfrac{\rho (1-\beta^4)}{2 A_2^2}.
  • Numéricos: A_2 = 0{,}0019634954\\ \mathrm{m^2}\quad\Rightarrow\quad A_2^2 = 3{,}8540849\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.
\rho(1-\beta^4)/2 = 737\cdot 0{,}9375/2 = 345{,}46875.
K = \dfrac{345{,}46875}{3{,}8540849\times10^{-6}} \approx 8{,}9652837\times 10^{7}\\ \mathrm{Pa\cdot s^2/m^6}.
  • Então \Delta p = \dfrac{K\,Q^2}{C_d^2}.
  • Para Q_{\text{nom}}=0{,}95\\ \mathrm{m^3/s}: Q_{\text{nom}}^2 = 0{,}9025.
K\,Q_{\text{nom}}^2 \approx 8{,}9652837\times10^{7}\times 0{,}9025 \approx 8{,}0911760\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Esse valor corresponde à \Delta p teórica supondo C_d=1. Para cada dispositivo dividimos por C_d^2.

Passo 7

Cálculo numérico de \Delta p nominal ( Q=0{,}95\\ \mathrm{m^3/s}) para cada dispositivo
  • Placa de orifício ( C_d=0{,}61, C_d^2=0{,}3721): \Delta p_{\text{orifício,nom}} \approx \dfrac{8{,}0911760\times10^{7}}{0{,}3721} \approx 2{,}176\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx 217{,}6\\ \mathrm{MPa}).í
  • Bocal de raio longo ( C_d=0{,}98, C_d^2=0{,}9604): \Delta p_{\text{nozzle,nom}} \approx \dfrac{8{,}0911760\times10^{7}}{0{,}9604} \approx 8{,}433\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx 84{,}3\\ \mathrm{MPa}).
  • Bocal venturi ( C_d=0{,}99, C_d^2=0{,}9801): \Delta p_{\text{venturi,nom}} \approx \dfrac{8{,}0911760\times10^{7}}{0{,}9801} \approx 8{,}260\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx 82{,}6\\ \mathrm{MPa}).
  • Observação imediata: todas essas quedas de pressão são da ordem de 10^{7} a 10^{8}\\ \mathrm{Pa}, ou dezenas a centenas de MPa, valores enormes comparados à faixa do instrumento (algumas dezenas de kPa). Isso já indica incompatibilidade.

Passo 8

Cálculo da faixa de \Delta p considerando a incerteza da vazão ( \pm 95\\ \mathrm{L/s})
  • Como \Delta p \propto Q^2, calculemos fatores de escala: \left(\dfrac{Q_{\min}}{Q_{\text{nom}}}\right)^2=\left(\dfrac{0{,}855}{0{,}95}\right)^2\approx 0{,}8098,
\left(\dfrac{Q_{\max}}{Q_{\text{nom}}}\right)^2=\left(\dfrac{1{,}045}{0{,}95}\right)^2\approx 1{,}2099.
  • Intervalos de \Delta p resultantes:
    • Orifício: \Delta p_{\text{orifício,min}}\approx 0{,}8098\times 217{,}6\\ \mathrm{MPa}\approx 176{,}2\\ \mathrm{MPa},í
\Delta p_{\text{orifício,max}}\approx 1{,}2099\times 217{,}6\\ \mathrm{MPa}\approx 263{,}4\\ \mathrm{MPa}.í
  • Bocal de raio longo: \Delta p_{\text{nozzle,min}}\approx 0{,}8098\times 84{,}3\\ \mathrm{MPa}\approx 68{,}2\\ \mathrm{MPa},
\Delta p_{\text{nozzle,max}}\approx 1{,}2099\times 84{,}3\\ \mathrm{MPa}\approx 101{,}9\\ \mathrm{MPa}.
  • Bocal venturi: \Delta p_{\text{venturi,min}}\approx 0{,}8098\times 82{,}6\\ \mathrm{MPa}\approx 66{,}9\\ \mathrm{MPa},
\Delta p_{\text{venturi,max}}\approx 1{,}2099\times 82{,}6\\ \mathrm{MPa}\approx 100{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Conclusão numérica: mesmo no caso mais favorável (venturi no menor fluxo) a \Delta p está ao redor de 66{,}9\\ \mathrm{MPa} = 66{,}900{,}000\\ \mathrm{Pa}, ainda muito maior que a faixa do instrumento ( 41{,}500 a 69{,}000\\ \mathrm{Pa}). A diferença é de três ordens de grandeza ou mais.

Passo 9

Interpretação física e recomendação
  • Por que os números ficaram tão grandes? Porque a vazão dada é muito alta para um tubo de apenas D=100\\ \mathrm{mm}: para Q=0{,}95\\ \mathrm{m^3/s} a velocidade média no tubo é V_1 = \dfrac{Q}{A_1} \approx \dfrac{0{,}95}{0{,}00785398}\approx 121\\ \mathrm{m/s},e na garganta V_2 = \dfrac{Q}{A_2} \approx \dfrac{0{,}95}{0{,}0019635}\approx 484\\ \mathrm{m/s},valores muito elevados (V2 ultrapassa a velocidade do som para gasolina/condições típicas), então o escoamento não está no regime prático para medidores simples e as hipóteses (incompressível, perdas desprezíveis) tornam-se duvidosas. Mas mesmo com as hipóteses, a queda de pressão calculada é gigantesca.
  • Entre os três dispositivos, o que é “melhor” no sentido de gerar a menor \Delta p (logo ficar mais perto da faixa do medidor)? O dispositivo com maior C_d dá a menor \Delta p. Assim, em ordem crescente de \Delta p: \text{Venturi (menor }\Delta p\text{)} \;<\; \text{Bocal de raio longo} \;<\; \text{Placa de orifício (maior }\Delta p\text{)}.í
  • No entanto a diferença não é pequena: mesmo o venturi produz \Delta p da ordem de dezenas de MPa, bem acima da faixa do instrumento ( \sim 4{,}15\times 10^4 a 6{,}9\times 10^4\\ \mathrm{Pa}). Portanto, com os parâmetros dados e o medidor disponível, nenhuma das três opções é compatível sem alterar alguma coisa (por ex.: aumentar muito a garganta, reduzir o \beta no sentido de aumentar área da garganta, reduzir a vazão real, ou usar um medidor de \Delta p com faixa muito maior ou outro tipo de medidor).

Resposta

Bocal venturi (é o que produz a menor \Delta p); porém nenhuma das três opções gera uma queda de pressão na faixa 41{,}500\\ \mathrm{Pa} a 69{,}000\\ \mathrm{Pa} para o escoamento dado — todas excedem essa faixa por várias ordens de grandeza.

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