P6.66 Álcool etílico a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa por um tubo estirado hori-
□ zontal de 10 cm de diâmetro e 100 m de comprimento. A tensão de cisalhamento totamente desenvolvida na parede é 14 Pa . Calcule (a) a queda de pressão, (b) a vazão volumétrica e ( c ) a velocidade u para r=1 \mathrm{~cm}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o escoamento de álcool etílico a 20^\circ\mathrm{C} num tubo horizontal reto:
(a) a queda de pressão ao longo do tubo de comprimento L=100\\ \mathrm{m};
(b) a vazão volumétrica Q;
(c) a velocidade u no ponto r=1\\ \mathrm{cm} (distância medida do centro do tubo).
(“tensão de cisalhamento totalmente desenvolvida na parede” = \tau_w).
Para completar a resolução vou precisar da viscosidade dinâmica do álcool etílico a 20^\circ\mathrm{C}; usarei o valor tabelado
\mu = 1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Vou assumir também que o fluido é newtoniano e que o escoamento totalmente desenvolvido pode ser tratado pela solução de Hagen–Poiseuille (discussão sobre essa escolha aparece mais adiante).
Passo 2
Relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de pressão (derivação física curta e clara).
Considere uma coluna de fluido de raio r e comprimento L. O equilíbrio de forças na direção axial dá que a força de pressão sobre as extremidades é equilibrada pela força de cisalhamento na superfície lateral. Da análise padrão resulta a relação (válida para escoamento totalmente desenvolvido, independente de laminar/turbulento):
\tau(r) = -\frac{r}{2}\,\frac{dp}{dx}.
Tomando r=R obtemos a tensão de cisalhamento na parede:
\tau_w = -\frac{R}{2}\,\frac{dp}{dx}.
Isolando o gradiente de pressão:
\frac{dp}{dx} = -\frac{2\tau_w}{R}.
Essa relação é muito útil porque liga diretamente \tau_w a \dfrac{dp}{dx}.
Passo 3
Cálculo da queda de pressão (item a).
Do passo anterior,
\Delta p = \left|\frac{dp}{dx}\right| L = 560\\ \mathrm{Pa/m}\times100\\ \mathrm{m} = 5{,}6\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 56\\ \mathrm{kPa}.
Portanto a queda de pressão é \Delta p = 5{,}6\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 56\\ \mathrm{kPa}), no sentido de perda de carga ao longo do tubo.
Passo 4
Escolha do método para obter Q e u(r) e justificativa.
Para obter Q e o perfil de velocidade preciso da relação entre \tau(r) e o gradiente de velocidade. Para um fluido newtoniano temos a lei de Newton do escoamento em regime laminar
\tau(r) = \mu\frac{du}{dr}.
Usando a relação do Passo 2, com sinal correto para as direções, obtemos a equação diferencial que dá o perfil de velocidade. Estou escolhendo o método de Hagen–Poiseuille (escoamento laminar, newtoniano, totalmente desenvolvido) porque é o método básico e direto para obter Q analiticamente. Aviso: depois eu verifico a validade dessa hipótese calculando o número de Reynolds; se houver contradição, explico o que isso significa.
Passo 5
Derivação do perfil de velocidade u(r) (passo-a-passo didático).
Partimos de
\tau(r) = -\frac{r}{2}\frac{dp}{dx}
e da lei de Newton (no sinal apropriado para o nosso sistema):
\tau(r) = \mu\frac{du}{dr}.
Igualando:
\mu\frac{du}{dr} = -\frac{r}{2}\frac{dp}{dx}.
Isolando du/dr:
\frac{du}{dr} = -\frac{r}{2\mu}\frac{dp}{dx}.
Integramos em r do centro (r=0) até um raio genérico r; condição de regularidade no centro exige \left.\frac{du}{dr}\right|_{r=0}=0 e condição na parede é u(R)=0. Integrando:
u(r) = -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\int_0^r r'\,dr' + C.
A integral dá \dfrac{r^2}{4}, logo
u(r) = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\,r^2 + C.
Impondo u(R)=0 resulta
0 = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\,R^2 + C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\,R^2.
Portanto o perfil de velocidade (a famosa parábola de Poiseuille) é
Verificação da coerência da hipótese de escoamento laminar (checar Reynolds) e observação final (empatia e aviso).
A velocidade média U_{avg} para perfil parabólico é U_{avg}=\dfrac{Q}{\pi R^2}=\dfrac{u_{max}}{2}. Com os números acima U_{avg}\approx145{,}8\\ \mathrm{m/s} (pois u_{max}\approx292\\ \mathrm{m/s}). Usando densidade típica do etanol à 20^\circ\mathrm{C}, \rho\approx789\\ \mathrm{kg/m^3}, o número de Reynolds é
muito maior que 2300, o que significa que o escoamento real seria fortemente turbulento. Portanto a solução de Hagen–Poiseuille (laminar) fornece uma previsão analítica simples, mas não é fisicamente consistente para os valores numéricos finais: os resultados numéricos assumem laminaridade e, se o escoamento for realmente turbulento, o perfil e a vazão serão diferentes.
Mesmo assim, muitos exercícios pedem exatamente a aplicação das fórmulas de escoamento totalmente desenvolvido newtoniano (Poiseuille) — por isso segui esse caminho. Se você tiver de usar resultados aplicáveis a escoamento turbulento, precisaríamos da fator de atrito e de correlações empíricas (Colebrook/Blasius etc.), o que complica a conta sem dados adicionais. Força aí — você chegou até aqui e já entendeu todo o raciocínio!