P6.123 Modifique o Problema 6.121 como se segue. Considere □ que todos os dados sejam os mesmos, exceto
, que passa a ser incógnita. Determine o valor de
para o qual a vazão no tubo 3 é
em direção à junção. (Este problema requer iteração e convém o uso de um computador.)
Passo 1
O enunciado pede que se determine o valor de
para o qual a vazão no tubo 3 é
em direção à junção. Foi dito que “todos os dados são os mesmos” do Problema 6.121, exceto que agora
é incógnita.
Informações fornecidas explicitamente neste enunciado (apenas o que está aqui):
Informações fornecidas explicitamente neste enunciado (apenas o que está aqui):
- Valor desejado da vazão no tubo 3:
(direção: em direção à junção). - A única incógnita solicitada:
.
Informação que falta e que é necessária para um cálculo numérico: os dados do Problema 6.121 (que não foram fornecidos aqui). Esses dados normalmente incluem, por exemplo: alturas ou cargas nos outros nós/reservatórios, comprimentos
, diâmetros
, rugosidades ou fatores de atrito
, disposições dos tubos (como eles se conectam), eventuais perdas locais (válvulas, entradas, saídas), e quaisquer elevações conhecidas
ou pressões nos pontos terminais. Sem esses dados numéricos não é possível calcular numericamente
.
Observação: como o enunciado original (6.121) e a figura/valores associados não foram enviados, não há como fornecer um valor numérico para
. A partir daqui eu vou explicar, passo a passo e de forma didática, o método que você usaria para achar
caso tivesse os dados de 6.121 — inclusive um passo-a-passo para implementar a iteração em computador. Isso vai te ensinar a resolver o problema na prova quando tiver os números.
Passo 2
Definir claramente as incógnitas e a convenção de sinais (coisa essencial antes de começar a resolver):
- Convenção de vazões: escolhendo uma direção positiva para cada tubo (por exemplo, positiva para em direção à junção). Aqui nos pedem que
em direção à junção. - Variáveis envolvidas que aparecerão nas equações: as vazões
(com sinais de acordo com convenção), as elevações nos nós ou terminais, as cargas manométricas ou alturas piezométricas , e perdas por atrito em cada tubo. - Objetivo prático: ajustar o valor de
até que, ao resolver o sistema de equações da rede (continuidade + energia), a vazão no tubo 3 seja na direção indicada.
Passo 3
Escrever as equações fundamentais que controlam o problema — estas são universais para redes de tubulações (vou explicar cada uma com calma):
3.1 Continuidade no nó (conservação de massa): a soma das vazões com sinais deve ser zero. Por exemplo, se os tubos 1, 2 e 3 se juntam num nó e as vazões positivas são orientadas em direção ao nó, então
Explicação: essa equação diz que o que entra no nó menos o que sai deve ser zero. Se a orientação de algum
for oposta, o sinal muda.
3.2 Equações de energia (Bernoulli com perdas) entre pontos conhecidos e o nó. Para cada tubo
entre um reservatório/ponto de referência e o nó, usa-se uma forma assim:
onde:
-
é a carga piezométrica (altura de energia por unidade de peso) no ponto externo (reservatório ou outro nó) conhecido (depende de , pressão, velocidade), -
é a carga piezométrica no nó (a mesma para todas as conexões do nó, se desprezarmos pequenas diferenças), -
é a perda de carga por atrito no tubo (entre o ponto externo e o nó).
Explicação física: a carga disponível no reservatório externa é consumida para vencer a perda por atrito até o nó; a carga no nó será então a diferença.
3.3 Modelo para perda por atrito. Há duas formas comuns; a mais usada em problemas de livro é ter perda proporcional ao quadrado da vazão:
Aqui:
-
é uma resistência hidráulica do tubo que agrega comprimento, diâmetro, rugosidade e conversões de velocidade para perda de carga; tem unidades de de modo que dá metros de coluna de fluido.
Explicação de onde vem: da fórmula de Darcy–Weisbach
com
e
. Substituindo
por
e agrupando termos obtém-se
(ou
para preservar o sinal correto quando há reversão do fluxo). Vou detalhar como calcular
se você tiver
.
Passo 4
Como montar o sistema de equações para um dado palpite de
. Eu descrevo o procedimento operacional — passo a passo — que você faria no computador ou até à mão (se os números forem simples):
4.1 Calcule as cargas externas
conhecidas. Por exemplo, se um terminal tem elevação
e pressão atmosférica (referência) e velocidade desprezível, então
. Em muitos problemas de prova os pontos externos são reservatórios com superfície livre, então
. Se houver pressão, some
.
4.2 Para um palpite de
, calcule a carga externa correspondente para a conexão que envolve
(por exemplo, se o tubo 3 liga um reservatório cuja superfície tem elevação
, então
). Esse é o ponto que estamos variando.
4.3 Expressar
em termos das vazões: Das equações de energia para cada tubo
,
Como
é o mesmo para todos os i que conectam o nó, igualamos essas expressões entre os tubos conectados ao nó para relacionar as vazões. Por exemplo, para tubos 1 e 3:
Isto dá uma equação relacionando
e
. Juntando com a equação para 2 e 3, e com continuidade, forma-se um sistema não linear para
.
4.4 Procedimento prático para achar
dado
(ou vice-versa): se o problema tiver um grau de liberdade (por exemplo,
fixo), então usar as equações de igualdade de
para calcular
e
. Por exemplo, supondo conhecidas
e conhecendo
, as equações
permitem resolver
e
isoladamente (cada uma é uma equação escalar não linear para
e
respectivamente, semelhantes a
). Em muitos casos isso se reduz a tomar raiz quadrada com atenção ao sinal: por exemplo, se
e
então
— embora, na prática, prefira resolver numericamente para manter o controle de sinais.
4.5 Verificação da continuidade: calcule
. Se não for zero (ou não satisfizer a condição de fluxo do nó), então o palpite de
não é correto. Aqui está a função que queremos zerar com relação a
:
Note que
é fixado em
(com sinal definido), então as funções
e
dependem de
via
e via a igualação das cargas do nó. O objetivo é achar
tal que
.
Passo 5
Métodos iterativos práticos para achar
. Vou explicar dois métodos simples que você pode programar (ou fazer numa calculadora com funções): o método da secante (fácil, robusto) e o método de Newton (mais rápido se você puder estimar derivada).
5.1 Método da secante (recomendado pela sua nota “conveniente o uso de um computador” e quando a derivada é trabalhosa): escolha duas estimativas iniciais
e
. Para cada
:
- Calcule
(ou a carga do ponto 3 correspondente). - Resolva as equações do Passo 4 para obter
e . - Calcule
.
Atualize pela fórmula da secante:
Itere até
, onde
é sua tolerância (por exemplo
ou outro critério relativo).
5.2 Método de Newton (se quiser mais rapidez e souber derivar numericamente): a iteração é
Como é complicado obter
analiticamente (pois
dependem de
via raiz quadrada de expressões), calcule
numericamente por diferença finita:
com
pequeno (por exemplo
m). Newton converge rápido se o chute inicial for razoável.
Passo 6
Como calcular numericamente
para um dado
(detalhando a conta que aparece no Passo 4):
6.1 Suponha que, para cada tubo
, você já tenha calculado
. Se a igualdade de cargas entre tubo
e o nó é
e para o tubo 3 você conhece
e
, então
. Substitua esse valor de
nas equações dos outros tubos:
Reorganizando:
Denote o lado direito por
, que é conhecido para dado
. Então
Para obter
do número à direita, proceda assim:
- Se
, então e tem o sinal consistente com o problema (se convencionou positivo em direção à junção, decidir o sinal conforme o sinal esperado de ). - Se
, então o fluxo previsto tem sentido oposto e .
Importante: ao implementar numericamente, trate cuidadosamente casos em que
seja negativo ou zero, e mantenha consistência de sinais com sua convenção.
6.2 Depois de computar
e
assim para o
testado, calcule
e aplique a iteração (secante ou Newton) até que
esteja suficientemente próximo de zero.
Passo 7
Exemplo de pseudocódigo (secante) que você pode usar no computador — isso transforma a ideia em passos executáveis. Aqui descrevo em linguagem natural com as fórmulas; implemente em Python/Matlab/Excel conforme você preferir:
- Entradas necessárias vindas do Problema 6.121:
(ou ), funções/valores , e o valor solicitado . - Inicialize
e (por exemplo, duas estimativas de elevação plausíveis). - Para k = 1,2,… faça:
- Para
calcule . - Compute
. - Para i = 1,2 calcule
e depois . - Calcule
. - Se
menor que tolerância, pare; é a solução. - Caso contrário use a fórmula da secante para obter
.
- Para
- Retorne
convergido.
Passo 8
Observações práticas, dicas de prova e armadilhas — para te dar confiança na hora da prova:
- Sempre defina claramente as convenções de sinais (direções de Q positivas). Coloque-as na folha.
- Calcule
com cuidado se precisar: derive a partir de e da área . Mostre esse trabalho; se o enunciado der diretamente um coeficiente de perda do tipo , use-o. - Se em prova não der tempo para programar, faça a iteração à mão com 2–3 iterações simples (secante com passos amplos) — mostre as tentativas e que
muda de sinal — muitas vezes isso basta para receber crédito parcial. - Se houver incerteza sobre o sinal de
durante as iterações, cheque fisicamente: se a carga do reservatório for maior do que a carga do nó, o fluxo vai do reservatório para o nó; caso contrário, haverá fluxo invertido. - Mantenha tolerâncias claras: por exemplo pare quando
ou quando a variação em for menor que .
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque os dados do Problema 6.121 (geometrias, comprimentos, diâmetros, fatores de atrito ou coeficientes de perda, elevações/pressões nos outros pontos, etc.) não foram fornecidos.