P6.123 Modifique o Problema 6.121 como se segue. Considere □ que todos os dados sejam os mesmos, exceto z_{3}, que passa a ser incógnita. Determine o valor de z_{3} para o qual a vazão no tubo 3 é 0,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em direção à junção. (Este problema requer iteração e convém o uso de um computador.)

Passo 1

O enunciado pede que se determine o valor de z_{3} para o qual a vazão no tubo 3 é \,0,2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\, em direção à junção. Foi dito que “todos os dados são os mesmos” do Problema 6.121, exceto que agora z_{3} é incógnita.
Informações fornecidas explicitamente neste enunciado (apenas o que está aqui):
  • Valor desejado da vazão no tubo 3: \,Q_{3}=0,2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} (direção: em direção à junção).
  • A única incógnita solicitada: \,z_{3}.
Informação que falta e que é necessária para um cálculo numérico: os dados do Problema 6.121 (que não foram fornecidos aqui). Esses dados normalmente incluem, por exemplo: alturas ou cargas nos outros nós/reservatórios, comprimentos \,L_i, diâmetros \,D_i, rugosidades ou fatores de atrito \,f_i, disposições dos tubos (como eles se conectam), eventuais perdas locais (válvulas, entradas, saídas), e quaisquer elevações conhecidas z_1,z_2,\ldots ou pressões nos pontos terminais. Sem esses dados numéricos não é possível calcular numericamente z_{3}.
Observação: como o enunciado original (6.121) e a figura/valores associados não foram enviados, não há como fornecer um valor numérico para \,z_{3}. A partir daqui eu vou explicar, passo a passo e de forma didática, o método que você usaria para achar \,z_{3} caso tivesse os dados de 6.121 — inclusive um passo-a-passo para implementar a iteração em computador. Isso vai te ensinar a resolver o problema na prova quando tiver os números.

Passo 2

Definir claramente as incógnitas e a convenção de sinais (coisa essencial antes de começar a resolver):
  • Convenção de vazões: escolhendo uma direção positiva para cada tubo (por exemplo, positiva para em direção à junção). Aqui nos pedem que \,Q_{3}=0,2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} em direção à junção.
  • Variáveis envolvidas que aparecerão nas equações: as vazões \,Q_1,Q_2,Q_3 (com sinais de acordo com convenção), as elevações z_i nos nós ou terminais, as cargas manométricas ou alturas piezométricas H_i, e perdas por atrito h_{f,i} em cada tubo.
  • Objetivo prático: ajustar o valor de \,z_{3} até que, ao resolver o sistema de equações da rede (continuidade + energia), a vazão no tubo 3 seja \,0,2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} na direção indicada.

Passo 3

Escrever as equações fundamentais que controlam o problema — estas são universais para redes de tubulações (vou explicar cada uma com calma):
3.1 Continuidade no nó (conservação de massa): a soma das vazões com sinais deve ser zero. Por exemplo, se os tubos 1, 2 e 3 se juntam num nó e as vazões positivas são orientadas em direção ao nó, então
Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=0.
Explicação: essa equação diz que o que entra no nó menos o que sai deve ser zero. Se a orientação de algum Q_i for oposta, o sinal muda.
3.2 Equações de energia (Bernoulli com perdas) entre pontos conhecidos e o nó. Para cada tubo i entre um reservatório/ponto de referência e o nó, usa-se uma forma assim:
H_{\text{ext},i} = H_{\text{nó}} + h_{f,i},ó
onde:
  • H_{\text{ext},i} é a carga piezométrica (altura de energia por unidade de peso) no ponto externo (reservatório ou outro nó) conhecido (depende de z, pressão, velocidade),
  • H_{\text{nó}}ó é a carga piezométrica no nó (a mesma para todas as conexões do nó, se desprezarmos pequenas diferenças),
  • h_{f,i} é a perda de carga por atrito no tubo i (entre o ponto externo e o nó).
Explicação física: a carga disponível no reservatório externa é consumida para vencer a perda por atrito até o nó; a carga no nó será então a diferença.
3.3 Modelo para perda por atrito. Há duas formas comuns; a mais usada em problemas de livro é ter perda proporcional ao quadrado da vazão:
h_{f,i} = R_i\,Q_i\,|Q_i|.
Aqui:
  • R_i é uma resistência hidráulica do tubo i que agrega comprimento, diâmetro, rugosidade e conversões de velocidade para perda de carga; tem unidades de \mathrm{m}^{-5}\,\mathrm{s}^{2} de modo que R_i Q_i^2 dá metros de coluna de fluido.
    Explicação de onde vem R_i: da fórmula de Darcy–Weisbach
h_{f,i}=f_i\frac{L_i}{D_i}\frac{V_i^2}{2g},
com V_i=Q_i/A_i e A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}. Substituindo V_i por Q_i/A_i e agrupando termos obtém-se h_{f,i}=R_i Q_i^2 (ou R_i Q_i|Q_i| para preservar o sinal correto quando há reversão do fluxo). Vou detalhar como calcular R_i se você tiver f_i,L_i,D_i.

Passo 4

Como montar o sistema de equações para um dado palpite de \,z_{3}. Eu descrevo o procedimento operacional — passo a passo — que você faria no computador ou até à mão (se os números forem simples):
4.1 Calcule as cargas externas H_{\text{ext},i} conhecidas. Por exemplo, se um terminal tem elevação z_a e pressão atmosférica (referência) e velocidade desprezível, então H_{\text{ext}}=z_a. Em muitos problemas de prova os pontos externos são reservatórios com superfície livre, então H_{\text{ext},i}=z_{\text{reservatório},i}ó. Se houver pressão, some \frac{p}{\gamma}.
4.2 Para um palpite de z_{3}, calcule a carga externa correspondente para a conexão que envolve z_3 (por exemplo, se o tubo 3 liga um reservatório cuja superfície tem elevação z_3, então H_{\text{ext},3}=z_3). Esse é o ponto que estamos variando.
4.3 Expressar H_{\text{nó}}ó em termos das vazões: Das equações de energia para cada tubo i,
H_{\text{nó}} = H_{\text{ext},i} - h_{f,i} = H_{\text{ext},i} - R_i Q_i|Q_i|.ó
Como H_{\text{nó}}ó é o mesmo para todos os i que conectam o nó, igualamos essas expressões entre os tubos conectados ao nó para relacionar as vazões. Por exemplo, para tubos 1 e 3:
H_{\text{ext},1} - R_1 Q_1|Q_1| = H_{\text{ext},3} - R_3 Q_3|Q_3|.
Isto dá uma equação relacionando Q_1 e Q_3. Juntando com a equação para 2 e 3, e com continuidade, forma-se um sistema não linear para Q_1,Q_2,Q_3.
4.4 Procedimento prático para achar Q_1,Q_2 dado Q_3 (ou vice-versa): se o problema tiver um grau de liberdade (por exemplo, Q_3 fixo), então usar as equações de igualdade de H_{\text{nó}}ó para calcular Q_1 e Q_2. Por exemplo, supondo conhecidas H_{\text{ext},1},H_{\text{ext},2},H_{\text{ext},3} e conhecendo Q_3, as equações
H_{\text{ext},1} - R_1 Q_1|Q_1| = H_{\text{ext},3} - R_3 Q_3|Q_3|
H_{\text{ext},2} - R_2 Q_2|Q_2| = H_{\text{ext},3} - R_3 Q_3|Q_3|
permitem resolver Q_1 e Q_2 isoladamente (cada uma é uma equação escalar não linear para Q_1 e Q_2 respectivamente, semelhantes a R_1 Q_1|Q_1| = \text{const}). Em muitos casos isso se reduz a tomar raiz quadrada com atenção ao sinal: por exemplo, se R_1 Q_1|Q_1| = C_1 e C_1\ge 0 então Q_1 = \operatorname{sgn}(-C_1)\sqrt{|C_1|/R_1} — embora, na prática, prefira resolver numericamente para manter o controle de sinais.
4.5 Verificação da continuidade: calcule Q_1+Q_2+Q_3. Se não for zero (ou não satisfizer a condição de fluxo do nó), então o palpite de z_3 não é correto. Aqui está a função que queremos zerar com relação a z_3:
F(z_3) = Q_1(z_3) + Q_2(z_3) + Q_3.
Note que Q_3 é fixado em \,0,2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} (com sinal definido), então as funções Q_1(z_3) e Q_2(z_3) dependem de z_3 via H_{\text{ext},3} e via a igualação das cargas do nó. O objetivo é achar z_3 tal que F(z_3)=0.

Passo 5

Métodos iterativos práticos para achar z_3. Vou explicar dois métodos simples que você pode programar (ou fazer numa calculadora com funções): o método da secante (fácil, robusto) e o método de Newton (mais rápido se você puder estimar derivada).
5.1 Método da secante (recomendado pela sua nota “conveniente o uso de um computador” e quando a derivada é trabalhosa): escolha duas estimativas iniciais z_{3}^{(0)} e z_{3}^{(1)}. Para cada z_{3}^{(k)}:
  • Calcule H_{\text{ext},3} = z_{3}^{(k)} (ou a carga do ponto 3 correspondente).
  • Resolva as equações do Passo 4 para obter Q_1(z_{3}^{(k)}) e Q_2(z_{3}^{(k)}).
  • Calcule F(z_{3}^{(k)}) = Q_1+Q_2+Q_3.
Atualize pela fórmula da secante:
z_{3}^{(k+1)} = z_{3}^{(k)} - F(z_{3}^{(k)})\frac{z_{3}^{(k)}-z_{3}^{(k-1)}}{F(z_{3}^{(k)})-F(z_{3}^{(k-1)})}.
Itere até |F(z_{3}^{(k+1)})| < \varepsilon, onde \varepsilon é sua tolerância (por exemplo \,10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} ou outro critério relativo).
5.2 Método de Newton (se quiser mais rapidez e souber derivar numericamente): a iteração é
z_{3}^{(k+1)} = z_{3}^{(k)} - \frac{F(z_{3}^{(k)})}{F'(z_{3}^{(k)})}.
Como é complicado obter F'(z_3) analiticamente (pois Q_1,Q_2 dependem de z_3 via raiz quadrada de expressões), calcule F'(z_3) numericamente por diferença finita:
F'(z_3) \approx \frac{F(z_3+\delta)-F(z_3-\delta)}{2\delta}
com \delta pequeno (por exemplo \delta=10^{-4} m). Newton converge rápido se o chute inicial for razoável.

Passo 6

Como calcular numericamente Q_i para um dado z_3 (detalhando a conta que aparece no Passo 4):
6.1 Suponha que, para cada tubo i, você já tenha calculado R_i. Se a igualdade de cargas entre tubo i e o nó é
H_{\text{ext},i} - R_i Q_i|Q_i| = H_{\text{nó}},ó
e para o tubo 3 você conhece Q_3 e H_{\text{ext},3}, então H_{\text{nó}} = H_{\text{ext},3} - R_3 Q_3|Q_3|ó. Substitua esse valor de H_{\text{nó}}ó nas equações dos outros tubos:
H_{\text{ext},i} - R_i Q_i|Q_i| = H_{\text{ext},3} - R_3 Q_3|Q_3|.
Reorganizando:
R_i Q_i|Q_i| = H_{\text{ext},i} - H_{\text{ext},3} + R_3 Q_3|Q_3|.
Denote o lado direito por C_i(z_3), que é conhecido para dado z_3. Então
Q_i|Q_i| = \frac{C_i(z_3)}{R_i}.
Para obter Q_i do número à direita, proceda assim:
  • Se C_i/R_i > 0, então |Q_i| = \sqrt{C_i/R_i} e Q_i tem o sinal consistente com o problema (se convencionou positivo em direção à junção, decidir o sinal conforme o sinal esperado de C_i).
  • Se C_i/R_i < 0, então o fluxo previsto tem sentido oposto e Q_i = -\sqrt{|C_i/R_i|}.
Importante: ao implementar numericamente, trate cuidadosamente casos em que C_i seja negativo ou zero, e mantenha consistência de sinais com sua convenção.
6.2 Depois de computar Q_1 e Q_2 assim para o z_3 testado, calcule F(z_3)=Q_1+Q_2+Q_3 e aplique a iteração (secante ou Newton) até que F esteja suficientemente próximo de zero.

Passo 7

Exemplo de pseudocódigo (secante) que você pode usar no computador — isso transforma a ideia em passos executáveis. Aqui descrevo em linguagem natural com as fórmulas; implemente em Python/Matlab/Excel conforme você preferir:
  • Entradas necessárias vindas do Problema 6.121: H_{\text{ext},1},H_{\text{ext},2} (ou z_1,z_2), funções/valores R_1,R_2,R_3, e o valor solicitado Q_3=0,2.
  • Inicialize z_{3}^{(0)} e z_{3}^{(1)} (por exemplo, duas estimativas de elevação plausíveis).
  • Para k = 1,2,… faça:
    1. Para z_{3}^{(k)} calcule H_{\text{ext},3}=z_{3}^{(k)}.
    2. Compute H_{\text{nó}} = H_{\text{ext},3} - R_3 Q_3|Q_3|ó.
    3. Para i = 1,2 calcule C_i = H_{\text{ext},i} - H_{\text{nó}}ó e depois Q_i = \operatorname{sgn}(C_i)\sqrt{|C_i|/R_i}.
    4. Calcule F(z_{3}^{(k)}) = Q_1+Q_2+Q_3.
    5. Se |F| menor que tolerância, pare; z_{3}^{(k)} é a solução.
    6. Caso contrário use a fórmula da secante para obter z_{3}^{(k+1)}.
  • Retorne z_3 convergido.

Passo 8

Observações práticas, dicas de prova e armadilhas — para te dar confiança na hora da prova:
  • Sempre defina claramente as convenções de sinais (direções de Q positivas). Coloque-as na folha.
  • Calcule R_i com cuidado se precisar: derive a partir de \,f,L,D e da área A=\pi D^2/4. Mostre esse trabalho; se o enunciado der diretamente um coeficiente de perda do tipo h_f=k Q^2, use-o.
  • Se em prova não der tempo para programar, faça a iteração à mão com 2–3 iterações simples (secante com passos amplos) — mostre as tentativas e que F muda de sinal — muitas vezes isso basta para receber crédito parcial.
  • Se houver incerteza sobre o sinal de Q_i durante as iterações, cheque fisicamente: se a carga do reservatório for maior do que a carga do nó, o fluxo vai do reservatório para o nó; caso contrário, haverá fluxo invertido.
  • Mantenha tolerâncias claras: por exemplo pare quando |F|<10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} ou quando a variação em z_3 for menor que 10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente z_{3} porque os dados do Problema 6.121 (geometrias, comprimentos, diâmetros, fatores de atrito ou coeficientes de perda, elevações/pressões nos outros pontos, etc.) não foram fornecidos.

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