116 Encontre a matriz de mudança da base \mathcal{B}=\{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)\} para base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá a base \mathcal{B}=\{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)\} do \mathbb{R}^3 e pede a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica. Vamos usar a definição de matriz de mudança de coordenadas, que leva as coordenadas de um vetor em relação à base \mathcal{B} para suas coordenadas no referencial canônico.

Passo 2

Para uma base \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}, a matriz de mudança de \mathcal{B} para a base canônica — digamos \mathbf{P} — é obtida colocando em cada coluna as coordenadas canônicas de b_1,b_2,b_3. Em outras palavras,
\mathbf{P} = \begin{pmatrix} | & | & | \\\ b_1 & b_2 & b_3 \\\ | & | & |\end{pmatrix}.

Passo 3

Identificamos os vetores da base \mathcal{B} em coordenadas canônicas:
b_1 = (1,1,0),\quad b_2 = (0,1,0),\quad b_3 = (0,0,3).

Passo 4

Substituindo esses vetores nas colunas de \mathbf{P}, temos
\mathbf{P}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

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