Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{7}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, f_{7}(x, y)=(x+y, x, 0)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
f_{7}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\quad f_{7}(x,y) = (x+y,\;x,\;0).
O conteúdo é transformação linear. Para mostrar que f_{7} é linear, vamos usar a definição: verificar se
  1. f_{7}(0,0) = (0,0,0),
  2. f_{7}(u+v) = f_{7}(u) + f_{7}(v),
  3. f_{7}(\lambda\,u) = \lambda\,f_{7}(u).

Passo 2

Calcular f_{7}(0,0):
f_{7}(0,0) = (0+0,\;0,\;0) = (0,0,0).
Isso mostra que a imagem do vetor nulo é o vetor nulo, condição necessária para linearidade.

Passo 3

Verificar aditividade. Sejam u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}). Então
u+v = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
e
f_{7}(u+v) = \bigl((x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2}),\;x_{1}+x_{2},\;0\bigr) = (x_{1}+y_{1},x_{1},0) + (x_{2}+y_{2},x_{2},0) = f_{7}(u) + f_{7}(v).

Passo 4

Verificar homogeneidade. Para \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y):
f_{7}(\lambda x,\lambda y) = (\lambda x + \lambda y,\;\lambda x,\;0) = \lambda\,(x+y,\,x,\,0) = \lambda\,f_{7}(x,y).

Resposta

A aplicação f_{7} é de fato uma transformação linear.

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