Ache uma base e a dimensão do subespaço W de \mathbb{R}^{3}, onde:
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x+y-t=0\right. e \left.z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x + y - t = 0 \text{ e } z = 0\}.
O conteúdo aqui é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4. Para encontrar uma base e a dimensão de W, vamos parametrizar as soluções do sistema linear que o define.

Passo 2

As duas equações que caracterizam W são
2x + y - t = 0
e
z = 0.
Da segunda vem imediatamente \,z=0. Da primeira isolamos t:
t = 2x + y.

Passo 3

Como as variáveis livres são x e y, um vetor genérico de W pode ser escrito como
(x,y,0,t) = (x,y,0,2x+y).
Colocando em forma paramétrica, obtemos
(x,y,0,2x+y) = x\,(1,0,0,2) \;+\; y\,(0,1,0,1).
Os vetores (1,0,0,2) e (0,1,0,1) geram W e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de W é
\{(1,0,0,2),\,(0,1,0,1)\},
e \dim W = 2.

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