Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é uma transformação linear. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear em espaços vetoriais, e vamos precisar checar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Recordando a definição, uma função
entre espaços vetoriais é linear se, para todos
e todo escalar
, valem
-
(aditividade), -
(homogeneidade).
Passo 3
Verificamos a aditividade. Seja
e
. Então
Agora a homogeneidade. Para
e
,
Passo 4
Como as duas propriedades são satisfeitas,
é de fato uma transformação linear.