Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por f_{1}(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado dá a função
f_{1}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad f_{1}(x,y)=(x+y,\;x-y)
e pede para verificar se ela é uma transformação linear. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear em espaços vetoriais, e vamos precisar checar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, uma função T\colon V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para todos \mathbf{u},\mathbf{v}\in V e todo escalar \alpha, valem
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) (aditividade),
  2. T(\alpha\mathbf{u})=\alpha\,T(\mathbf{u}) (homogeneidade).

Passo 3

Verificamos a aditividade. Seja \mathbf{u}=(x_{1},y_{1}) e \mathbf{v}=(x_{2},y_{2}). Então
f_{1}(\mathbf{u}+\mathbf{v}) =f_{1}(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) =\bigl((x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2}),\;(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})\bigr)
=\bigl(x_{1}+y_{1},\,x_{1}-y_{1}\bigr)+\bigl(x_{2}+y_{2},\,x_{2}-y_{2}\bigr) =f_{1}(\mathbf{u})+f_{1}(\mathbf{v}).
Agora a homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y),
f_{1}(\alpha\mathbf{u}) =f_{1}(\alpha x,\alpha y) =\bigl(\alpha x+\alpha y,\;\alpha x-\alpha y\bigr) =\alpha\,(x+y,\;x-y) =\alpha\,f_{1}(\mathbf{u}).

Passo 4

Como as duas propriedades são satisfeitas, f_{1} é de fato uma transformação linear.

Resposta

f_{1} é transformação linear.

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