121 Considere as bases coordenadas \beta=\left\{1,1+t, 1+t^{2}\right\} e \gamma=\left\{1, t, 1-t^{2}\right\} de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
1.) Encontre as matrizes [I]_{\gamma}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\gamma}.
2.) \operatorname{Se}[v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -4 \\\\ 6\end{array}\right], encontre v \operatorname{e} \operatorname{determine}[v]_{\gamma}.
3.) Se [v]_{\gamma}=\left[\begin{array}{c}8 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], encontre v e determine [v]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas de base em \mathcal{P}_2(\mathbb{R}):
\beta = \{\,1,\;1+t,\;1+t^2\}, \quad \gamma = \{\,1,\;t,\;1 - t^2\}.
Precisamos (1) calcular as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\gamma}, (2) dados coeficientes de v em \beta, obter v e seus coeficientes em \gamma, e (3) o inverso: dados coeficientes em \gamma, obter v e seus coeficientes em \beta. O método geral é: para cada vetor da base de saída, escrevê-lo como combinação linear dos vetores da base de entrada e extrair essas coordenadas.

Passo 2

Calcular [I]_{\gamma}^{\beta}\). Cada coluna é o vetor de \(\gamma\) expresso em coordenadas de \(\beta\). 1. Para \(1\in\gamma\), buscamos \(x,y,z\) tais que \[x\cdot1 + y\,(1+t) + z\,(1+t^2) = 1.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ y = 0,\\\ z = 0, \end{cases}
logo (x,y,z) = (1,0,0)\]. 2. Para \(t\in\gamma,
x + y + z = 0,\quad y = 1,\quad z = 0 \;\Rightarrow\;(x,y,z)=(-1,1,0).
  1. Para 1 - t^2\in\gamma,
x + y + z = 1,\quad y = 0,\quad -\,z = -1\;\Rightarrow\;z = 1\text{ (erro—corrige: coef. de }t^2\text{ é }-1\!)é
Na verdade:
x + y + z = 1,\quad y=0,\quad z = -1 \;\Rightarrow\;(x,y,z)=(2,0,-1).
Portanto,
[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular [I]_{\beta}^{\gamma}. Cada coluna é o vetor de \beta expresso em \gamma.
  1. Para 1\in\beta,
\alpha\cdot1 + \beta\,t + \gamma\,(1 - t^2) = 1 \;\Rightarrow\; \alpha+\gamma=1,\;\beta=0,\;-\gamma=0 \;\Rightarrow\;(\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0).
  1. Para 1+t\in\beta,
\alpha+\gamma=1,\;\beta=1,\;-\gamma=0 \;\Rightarrow\;(\alpha,\beta,\gamma)=(1,1,0).
  1. Para 1+t^2\in\beta,
\alpha+\gamma=1,\;\beta=0,\;-\gamma=1 \;\Rightarrow\;\gamma=-1,\;\alpha=2.
Assim,
[I]_{\beta}^{\gamma} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Parte 2: [v]_{\beta} = \begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix}.
O polinômio é
v = 1\cdot1 + (-4)(1+t) + 6(1+t^2) = (1 -4 +6) + (-4)t + 6t^2 = 3 - 4t + 6t^2.
Para achar [v]_{\gamma}=(a,b,c), escrevemos
a\cdot1 + b\,t + c\,(1-t^2) = (a+c) + b\,t - c\,t^2 = 3 - 4t + 6t^2.
Comparando:
a + c = 3,\quad b = -4,\quad -\,c = 6 \;\Rightarrow\; c = -6,\;a = 9.
Logo [v]_{\gamma} = \begin{pmatrix}9\\\ -4\\\ -6\end{pmatrix}.

Passo 5

Parte 3: [v]_{\gamma} = \begin{pmatrix}8\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
O polinômio é
v = 8\cdot1 + (-1)t + 3(1 - t^2) = (8+3) + (-1)t - 3t^2 = 11 - t - 3t^2.
Para achar [v]_{\beta}=(x,y,z), escrevemos
x\cdot1 + y\,(1+t) + z\,(1+t^2) = (x+y+z) + y\,t + z\,t^2 = 11 - t -3t^2.
Comparando:
x+y+z = 11,\quad y = -1,\quad z = -3 \;\Rightarrow\; x = 15.
Logo [v]_{\beta} = \begin{pmatrix}15\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad [I]_{\beta}^{\gamma} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Se [v]_{\beta}=(1,-4,6), então
v=3-4t+6t^2,\quad [v]_{\gamma}=(9,-4,-6).
Se [v]_{\gamma}=(8,-1,3), então
v=11-t-3t^2,\quad [v]_{\beta}=(15,-1,-3).

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