121 Considere as bases coordenadas \beta=\left\{1,1+t, 1+t^{2}\right\} e \gamma=\left\{1, t, 1-t^{2}\right\} de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
1.) Encontre as matrizes [I]_{\gamma}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\gamma}.
2.) \operatorname{Se}[v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -4 \\\\ 6\end{array}\right], encontre v \operatorname{e} \operatorname{determine}[v]_{\gamma}.
3.) Se [v]_{\gamma}=\left[\begin{array}{c}8 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], encontre v e determine [v]_{\beta}.
Passo 1
O enunciado dá dois sistemas de base em \mathcal{P}_2(\mathbb{R}):
Precisamos (1) calcular as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\gamma}, (2) dados coeficientes de v em \beta, obter v e seus coeficientes em \gamma, e (3) o inverso: dados coeficientes em \gamma, obter v e seus coeficientes em \beta. O método geral é: para cada vetor da base de saída, escrevê-lo como combinação linear dos vetores da base de entrada e extrair essas coordenadas.
Passo 2
Calcular [I]_{\gamma}^{\beta}\). Cada coluna é o vetor de \(\gamma\) expresso em coordenadas de \(\beta\).
1. Para \(1\in\gamma\), buscamos \(x,y,z\) tais que
\[x\cdot1 + y\,(1+t) + z\,(1+t^2) = 1.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ y = 0,\\\ z = 0, \end{cases}
logo (x,y,z) = (1,0,0)\].
2. Para \(t\in\gamma,
x + y + z = 0,\quad y = 1,\quad z = 0 \;\Rightarrow\;(x,y,z)=(-1,1,0).
Para 1 - t^2\in\gamma,
x + y + z = 1,\quad y = 0,\quad -\,z = -1\;\Rightarrow\;z = 1\text{ (erro—corrige: coef. de }t^2\text{ é }-1\!)é
Na verdade:
x + y + z = 1,\quad y=0,\quad z = -1 \;\Rightarrow\;(x,y,z)=(2,0,-1).