119 A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por
y=(2,0 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}(\pi t / 4),
em que y está em centímetros e t está em segundos. (a) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes t=0 e t=2,0 \mathrm{~s} ? (b) Qual é a velocidade instantânea da partícula nos instantes t=0, t=1,0 \mathrm{~s} e t =2,0 \mathrm{~s} ? (c) Qual é a aceleração instantânea da partícula entre os instantes t=0 \mathrm{e} t=2,0 \mathrm{~s} ? (d) Qual é a aceleração instantânea da partícula nos instantes t=0, t=1,0 \mathrm{~s} e t=2,0 \mathrm{~s} ?
*Esta seção se destina a alunos que conhecem cálculo integral.
{ }^{1} Na verdade, de acordo com o Guiness World Records, esse recorde, que datava de 1979, foi batido em 2012 por uma bola de golfe, que atingiu a velocidade de 339,56 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (N.T.)

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula ao longo do eixo y por
y(t) = (2{,}0\text{ cm})\;\sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr),
com t em segundos. O conteúdo é cinemática unidimensional: (i) velocidade média definida por \Delta y/\Delta t, (ii) velocidade instantânea v(t)=y'(t) e (iii) aceleração instantânea a(t)=v'(t).

Passo 2

Para a velocidade média entre t=0 e t=2{,}0 s calculamos
y(0) = 2{,}0\sin(0)=0,\qquad y(2) = 2{,}0\sin\!\bigl(\tfrac{\pi\cdot2}{4}\bigr)=2{,}0\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2{,}0.
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v_{\text{méd}} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(2)-y(0)}{2-0} = \frac{2{,}0-0}{2} =1{,}0\text{ cm/s}.é

Passo 3

Para a velocidade instantânea derivamos y(t):
v(t) = y'(t) = 2{,}0\;\frac{d}{dt}\Bigl[\sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\Bigr] =2{,}0\;\cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\text{ cm/s}.
Então
v(0)=\frac{\pi}{2}\cos(0)=\frac{\pi}{2},\quad v(1)=\frac{\pi}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi\sqrt{2}}{4},\quad v(2)=\frac{\pi}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

A aceleração média entre t=0 e t=2{,}0 s é
a_{\text{méd}} =\frac{\Delta v}{\Delta t} =\frac{v(2)-v(0)}{2-0} =\frac{0 - \tfrac{\pi}{2}}{2} =-\frac{\pi}{4}\text{ cm/s}^2.é

Passo 5

Para a aceleração instantânea derivamos v(t):
a(t) = v'(t) =\frac{d}{dt}\!\Bigl[\frac{\pi}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\Bigr] =-\frac{\pi}{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{4} =-\frac{\pi^2}{8}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\text{ cm/s}^2.
Assim
a(0)=-\frac{\pi^2}{8}\sin(0)=0,\quad a(1)=-\frac{\pi^2}{8}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-\frac{\pi^2}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{\pi^2\sqrt{2}}{16},\quad a(2)=-\frac{\pi^2}{8}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-\frac{\pi^2}{8}.

Resposta

(a) v_{\text{méd}}=1{,}0\text{ cm/s}.é
(b) v(0)=\tfrac{\pi}{2}\text{ cm/s},\;v(1)=\tfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\text{ cm/s},\;v(2)=0.
(c) a_{\text{méd}}=-\tfrac{\pi}{4}\text{ cm/s}^2.é
(d) a(0)=0,\;a(1)=-\tfrac{\pi^2\sqrt{2}}{16}\text{ cm/s}^2,\;a(2)=-\tfrac{\pi^2}{8}\text{ cm/s}^2.

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