11.Ache as assíntotas horizontais de f(x)=\frac{\sqrt{2 x^{2}+1}}{3 x+5} .Existem assíntotas verticais?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais de
f(x)=\frac{\sqrt{2x^{2}+1}}{3x+5}
nos limites x\to+\infty e x\to-\infty, e verificar se existe alguma assíntota vertical (ou seja, valor de x que zere o denominador enquanto o numerador permanece não nulo).

Passo 2

Para x\to+\infty, usamos
\sqrt{2x^{2}+1}=|x|\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}
e como x>0 em +\infty temos |x|=x. Logo,
f(x) =\frac{x\sqrt{2+\tfrac1{x^{2}}}}{3x+5} =\frac{x\sqrt{2+\tfrac1{x^{2}}}}{x\bigl(3+\tfrac5{x}\bigr)} =\frac{\sqrt{2+\tfrac1{x^{2}}}}{3+\tfrac5{x}}.
Fazendo x\to+\infty dentro desse quociente, obtemos
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{\sqrt{2+0}}{3+0} =\frac{\sqrt{2}}{3}.
Portanto há uma assíntota horizontal y=\tfrac{\sqrt{2}}{3} quando x\to+\infty.

Passo 3

Para x\to-\infty, de novo
\sqrt{2x^{2}+1}=|x|\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}},
mas agora x<0, então |x|=-x. Assim,
f(x) =\frac{-x\sqrt{2+\tfrac1{x^{2}}}}{3x+5} =\frac{-x\sqrt{2+\tfrac1{x^{2}}}}{x\bigl(3+\tfrac5{x}\bigr)} =-\frac{\sqrt{2+\tfrac1{x^{2}}}}{3+\tfrac5{x}}
e, fazendo x\to-\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =-\frac{\sqrt{2+0}}{3+0} =-\frac{\sqrt{2}}{3}.
Isso dá a assíntota horizontal y=-\tfrac{\sqrt{2}}{3} quando x\to-\infty.

Passo 4

Para assíntotas verticais, buscamos zeros do denominador 3x+5=0, ou seja
x=-\frac{5}{3}.
Nesse ponto o numerador vale \sqrt{2\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)^{2}+1}=\sqrt{\tfrac{50}{9}+1}=\sqrt{\tfrac{59}{9}}\neq0, então de fato há uma assíntota vertical em x=-\tfrac{5}{3}.

Resposta

A função tem assíntotas horizontais
y=\frac{\sqrt{2}}{3}\quad\text{(quando \(x\to+\infty\))}, \qquad y=-\frac{\sqrt{2}}{3}\quad\text{(quando \(x\to-\infty\))},
e uma assíntota vertical em
x=-\frac{5}{3}.

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