14.(2016-2)Sejam a e b constantes reais não nulas e f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x-a+\frac{2}{x}}{x-1}, & x \neq 1 \\\ b, & x \neq 1 \end{array}\right.
Sabendo que f é contínua,podemos afirmar que:

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x - a + \tfrac{2}{x}}{x - 1}, & x\neq1,\\[0.5em] b, & x=1, \end{cases}
onde a e b são constantes não nulas, e pede as condições para que f seja contínua em todo \mathbb{R}\setminus\{0\}. Como o único ponto potencial de descontinuidade é x=1, vamos calcular
\lim_{x\to1}\frac{x - a + \tfrac{2}{x}}{x - 1}
e igualar esse limite a b.]

Passo 2

Para simplificar a expressão quando x\neq1, escrevemos o numerador sobre um único denominador:
x - a + \frac{2}{x} = \frac{x^2 - a\,x + 2}{x}.
Logo, para x\neq1 e x\neq0,
f(x) = \frac{\displaystyle\frac{x^2 - a\,x + 2}{x}}{x - 1} = \frac{x^2 - a\,x + 2}{\,x\,(x - 1)\,}.

Passo 3

Para que \lim_{x\to1}f(x) exista e seja finito, o fator x-1 deve cancelar entre numerador e denominador. Isso significa que x=1 é raiz do polinômio
x^2 - a\,x + 2.
Impondo 1^2 - a\cdot1 + 2 = 0, obtemos
1 - a + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.

Passo 4

Com a=3, o numerador fica
x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),
e então para x\neq1
f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{x\,(x-1)} = \frac{x-2}{x}.
Assim
\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}\frac{x-2}{x} = \frac{1 - 2}{1} = -1.
Pela continuidade em x=1, esse limite deve ser igual a b, logo
b = -1.

Resposta

a = 3 e b = -1.

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