Verifique que existe uma única função linear f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que satisfaz a seguinte condição e escreva-a explicitamente:
f\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right) \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right) \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\\\ 0 \\\\ -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
f\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3
cuja ação em três vetores independentes está dada por
f\bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}, \quad f\bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad f\bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Como esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3, existe e é única a função linear f. Para encontrá-la, vamos determinar a matriz M de f na base canônica.

Passo 2

Sejam m_1,m_2,m_3 as colunas de M, de modo que M(e_i)=m_i.
Como f(e_1)=f(1,0,0)=(2,1,2), temos
m_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}
Como
f(1,1,0)=f(e_1+e_2)=m_1+m_2 =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
segue que
m_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}
E como
f(1,1,1)=f(e_1+e_2+e_3)=m_1+m_2+m_3 =\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},
segue que
m_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} -\Bigl(\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}\Bigr) =\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}

Passo 3

Agrupando as colunas m_1,m_2,m_3, a matriz de f na base canônica é
M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Portanto, para qualquer vetor \bigl(x,y,z\bigr),
f\!\bigl(\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\bigr) = M\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x - y\\[6pt]x - z\\[6pt]2x - y - 2z\end{pmatrix}.]

Resposta

f(x,y,z)=(2x - y,\;x - z,\;2x - y - 2z).

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