12.8 Quando 1,00 \mathrm{~g} de ureia \left[\mathrm{CO}\left(\mathrm{NH}_{2}\right)_{2}\right] é dissolvido em 200 g de solvente A, o ponto de congelamento de A é diminuído em 0,250^{\circ} \mathrm{C}. Quando 1,50 \mathrm{~g} do não eletrólito Y é dissolvido em 125 g do mesmo solvente A , o ponto de congelamento é diminuído em 0,200^{\circ} \mathrm{C}. (a) Determine a massa molecular de Y . (b) O ponto de congelamento de A é 12^{\circ} \mathrm{C}, e sua massa molecular é 200. Determine \Delta_{\text {fus }} H_{\mathrm{m}} de A.

Passo 1

O enunciado dá duas experiências de depressão do ponto de congelação do solvente A e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Experiência 1: massa de ureia =1{,}00\\ \text{g}, massa de solvente =200{,}0\\ \text{g}, decréscimo do ponto de congelação \Delta T_f=0{,}250^\circ\mathrm{C}.
    • Experiência 2: massa do soluto Y=1{,}50\\ \text{g}, massa do solvente =125{,}0\\ \text{g}, decréscimo do ponto de congelação \Delta T_f=0{,}200^\circ\mathrm{C}.
    • É dito que tanto a ureia quanto Y são não eletrólitos (ou seja, fator de van 't Hoff i=1).
    • Em (b) o ponto de congelação absoluto do solvente puro é 12^\circ\mathrm{C} e a massa molar do solvente A é 200\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a massa molecular (massa molar) de Y.
    (b) Usando que o ponto de congelação de A é 12^\circ\mathrm{C} e M_A=200\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}, determinar \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} (entalpia molar de fusão) de A.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A depressão do ponto de congelação para soluções diluídas é dada por
\Delta T_f = K_f \, m,
onde:
  • \Delta T_f é a diminuição do ponto de congelação (em °C ou K),
  • K_f é a constante crioscópica do solvente (unidade: \mathrm{K\\ kg\\ mol^{-1}} ou ^\circ\mathrm{C\\ kg\\ mol^{-1}}),
  • m é a molalidade da solução, definida como mols de soluto por quilograma de solvente:
m = \frac{n_{\text{soluto}}}{\text{kg do solvente}} = \frac{\text{moles do soluto}}{\text{massa do solvente (kg)}}.
  • Para não eletrólitos o fator de van 't Hoff é i=1, então não precisamos multiplicar m por i.
  • Para determinar a constante K_f do solvente podemos usar a experiência com ureia (cujos dados e massa molar conhecemos).
  • Para relacionar K_f com a entalpia molar de fusão \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} existe a fórmula (obtida a partir de relações termodinâmicas / Clapeyron e aproximações para soluções diluídas):
K_f = \frac{R\,T_f^2\,M}{\Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}}},
onde:
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T_f é a temperatura de congelação (do solvente puro) em Kelvin,
  • M é a massa molar do solvente em kg mol ^{-1} (atenção à unidade: kg/mol),
  • \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} é a entalpia molar de fusão (J mol ^{-1}).
  • Iremos calcular K_f da experiência com ureia e depois:
    • usar esse K_f para achar a massa molar de Y (parte a),
    • e usar a relação acima para achar \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} (parte b).

Passo 3

Cálculo do K_f usando a experiência com ureia.
  1. Calcular a massa molar da ureia \mathrm{CO(NH_2)_2}. Vou somar massas atômicas aproximadas:
  • C: 12{,}01,
  • O: 16{,}00,
  • N (2 átomos): 2\times14{,}01=28{,}02,
  • H (4 átomos): 4\times1{,}008=4{,}032.
Portanto a massa molar da ureia é aproximadamente
M_{\text{ureia}} = 12{,}01 + 16{,}00 + 28{,}02 + 4{,}032 = 60{,}062\\ \text{g mol}^{-1}.
  1. Moles de ureia dissolvidos:
n_{\text{ureia}} = \frac{1{,}00\\ \text{g}}{60{,}062\\ \text{g mol}^{-1}} \approx 0{,}01665\\ \text{mol}.
  1. Molalidade da solução (usar massa do solvente em kg: 200{,}0\\ \text{g}=0{,}200\\ \text{kg}):
m = \frac{n_{\text{ureia}}}{\text{kg solvente}} = \frac{0{,}01665}{0{,}200} = 0{,}08325\\ \text{mol kg}^{-1}.
  1. Usar \Delta T_f = K_f m para achar K_f. Com \Delta T_f=0{,}250^\circ\mathrm{C},
K_f = \frac{\Delta T_f}{m} = \frac{0{,}250}{0{,}08325} \approx 3{,}002\\ \mathrm{^\circ C\;kg\;mol^{-1}}.
Arredondando com três algarismos significativos: K_f \approx 3{,}00\\ \mathrm{^\circ C\;kg\;mol^{-1}}.

Passo 4

Determinar a massa molar de Y (parte a) usando a segunda experiência e o K_f obtido.
  1. A molalidade provocada por Y é
m_Y = \frac{\Delta T_f}{K_f} = \frac{0{,}200}{3{,}002} \approx 0{,}06662\\ \text{mol kg}^{-1}.
  1. Moles de Y dissolvidos: a massa do solvente foi 125{,}0\\ \text{g}=0{,}125\\ \text{kg}, então
n_Y = m_Y \times 0{,}125 = 0{,}06662\times 0{,}125 \approx 0{,}0083275\\ \text{mol}.
  1. Massa molar de Y:
M_Y = \frac{\text{massa de }Y}{n_Y} = \frac{1{,}50\\ \text{g}}{0{,}0083275\\ \text{mol}} \approx 180{,}1\\ \text{g mol}^{-1}.
Arredondando razoavelmente: M_Y \approx 180\\ \text{g mol}^{-1}.

Passo 5

Determinar \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} de A (parte b) usando a relação entre K_f e \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}}.
Recordando a fórmula:
K_f = \frac{R\,T_f^2\,M}{\Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}}}.
Rearranjando para \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}}:
\Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} = \frac{R\,T_f^2\,M}{K_f}.
Agora substituir valores (atenção às unidades):
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T_f = 12^\circ\mathrm{C} = 12 + 273{,}15 = 285{,}15\\ \text{K}.
  • M do solvente A: 200\\ \text{g mol}^{-1}=0{,}200\\ \text{kg mol}^{-1} (lembrar que na fórmula M deve ficar em kg/mol).
  • K_f \approx 3{,}002\\ \mathrm{K\\ kg\\ mol^{-1}} (valor obtido no Passo 3).
Cálculo numérico:
  1. Calcular T_f^2:
T_f^2 = (285{,}15)^2 \approx 81\,310{,}5225\\ \text{K}^2.
  1. Numerador R\,T_f^2\,M:
R\,T_f^2\,M \approx 8{,}314 \times 81\,310{,}5225 \times 0{,}200 \approx 1{35\,203{,}1}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  1. Dividir pelo K_f:
\Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} \approx \frac{135\,203{,}1}{3{,}002} \approx 45\,040\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando para três algarismos significativos e expressando em kJ mol ^{-1}:
\Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} \approx 45{,}0\\ \text{kJ mol}^{-1}.

Passo 6

Breve checagem de consistência e comentários (didático e encorajador):
  • O valor de K_f obtido ( \approx 3{,}00) é razoável para solventes orgânicos leves; o procedimento usou molalidade (mols por kg de solvente), por isso a conversão de massa do solvente para kg foi essencial.
  • A massa molar de Y saiu como \approx 180\\ \text{g mol}^{-1}, que é compatível com um composto relativamente pesado não iônico.
  • A entalpia de fusão calculada tem ordem de grandeza de 10^4\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (ou dezenas de kJ mol ^{-1}), também coerente com muitos sólidos orgânicos.
Força aí — isto fica trilha para provas: usar sempre molalidade, checar unidades (kg para solvente, kg/mol para massa molar na fórmula de K_f vs \Delta H), e converter temperatura para Kelvin quando aparecer T^2.

Resposta

(a) M_Y \approx 180\\ \text{g mol}^{-1}
(b) \Delta_{\text{fus}}H_{\mathrm{m}} \approx 45{,}0\\ \text{kJ mol}^{-1}

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