12.10 Na dedução de \Delta T_{f}=-k m_{\mathrm{B}}, substituímos 1 / T_{f}^{*} T_{f} por 1 /\left(T_{f}^{*}\right)^{2}. Considere a série de Taylor (8.8) de 1 /(1-x) para demonstrar que
\frac{1}{T_{f}^{*} T_{f}}=\frac{1}{\left(T_{f}^{*}\right)^{2}}\left[1-\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}+\left(\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right)^{2}-\cdots\right]
onde \Delta T_{f} \equiv T_{f}-T_{f}^{*}. Se \Delta T_{f} \ll T_{f}^{*}, os termos depois do 1 na série podem ser ignorados.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a expansão
\frac{1}{T_{f}^{*} T_{f}}=\frac{1}{\left(T_{f}^{*}\right)^{2}}\left[1-\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}+\left(\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right)^{2}-\cdots\right]
onde está definido \Delta T_{f}\equiv T_{f}-T_{f}^{*}.
Também diz que, se \Delta T_{f}\ll T_{f}^{*}, os termos depois do 1 podem ser ignorados (ou seja, queremos justificar a aproximação usada).
Informações relevantes dadas:
  • \Delta T_{f}=T_{f}-T_{f}^{*}.
  • Queremos usar a série de Taylor (ou série geométrica) de 1/(1-x) para obter a expansão.

Passo 2

Expressar T_{f} em função de T_{f}^{*} e \Delta T_{f}. Por definição,
T_{f}=T_{f}^{*}+\Delta T_{f}.
Multiplicando por T_{f}^{*} obtemos
T_{f}^{*}T_{f}=T_{f}^{*}\bigl(T_{f}^{*}+\Delta T_{f}\bigr)=(T_{f}^{*})^{2}\left(1+\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right).

Passo 3

Tomando recíproco da expressão do Passo 2, temos
\frac{1}{T_{f}^{*}T_{f}}=\frac{1}{(T_{f}^{*})^{2}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}}.
É conveniente definir o parâmetro adimensional
\varepsilon\equiv\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}.
Com isso a expressão fica
\frac{1}{T_{f}^{*}T_{f}}=\frac{1}{(T_{f}^{*})^{2}}\cdot\frac{1}{1+\varepsilon}.

Passo 4

Recordar a série geométrica / Taylor para 1/(1-x). A série é
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\quad\text{para }|x|<1.
Para obter a série de 1/(1+\varepsilon) basta usar x=-\varepsilon. Substituindo,
\frac{1}{1+\varepsilon}=\frac{1}{1-(-\varepsilon)}=1+(-\varepsilon)+(-\varepsilon)^{2}+(-\varepsilon)^{3}+\cdots.
Isso gera a série alternada
\frac{1}{1+\varepsilon}=1-\varepsilon+\varepsilon^{2}-\varepsilon^{3}+\cdots,
válida quando |\varepsilon|<1.

Passo 5

Voltar à expressão do Passo 3 e substituir a série do Passo 4. Lembrando que \varepsilon=\dfrac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}, obtemos
\frac{1}{T_{f}^{*}T_{f}}=\frac{1}{(T_{f}^{*})^{2}}\left[1-\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}+\left(\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right)^{2}-\left(\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right)^{3}+\cdots\right].
Isto é precisamente a igualdade pedida. A condição de validade da série é \left|\dfrac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right|<1, ou seja, |\Delta T_{f}| menor que T_{f}^{*}.

Passo 6

Interpretação prática e aproximação: se \Delta T_{f}\ll T_{f}^{*} então \varepsilon\ll1 e os termos de ordem \varepsilon, \varepsilon^{2}, … são progressivamente menores. Em primeira aproximação pode-se ignorar todos os termos além do 1, ficando
\frac{1}{T_{f}^{*}T_{f}}\approx\frac{1}{(T_{f}^{*})^{2}}
com erro relativo da ordem de \varepsilon=\dfrac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}. Isso justifica a substituição feita na dedução original.

Resposta

\frac{1}{T_{f}^{*} T_{f}}=\frac{1}{\left(T_{f}^{*}\right)^{2}}\left[1-\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}+\left(\frac{\Delta T_{f}}{T_{f}^{*}}\right)^{2}-\cdots\right]
\text{Se }\Delta T_{f}\ll T_{f}^{*}\text{ então }\frac{1}{T_{f}^{*}T_{f}}\approx\frac{1}{(T_{f}^{*})^{2}}.ã

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