13/05
Considere o círculo C no plano cartesiano definido pela equação:
C: x^2+y^2-14 x-10 y+24=0
Achar o centro e o raio de C. Achar os quatro pontos de interseção de C com os eixos coordenados. Calcular o perímetro do quadrilátero determinado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um círculo no plano cartesiano definido pela equação $ \mathcal{C}: x^{2} + y^{2} - 14x - 10y + 24 = 0 $. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar o centro e o raio desse círculo.
  2. Descobrir os quatro pontos onde o círculo intercepta os eixos coordenados.
  3. Calcular o perímetro do quadrilátero formado por esses pontos.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado para achar o centro e o raio, resolver sistemas de equações para encontrar as interseções, e aplicar a fórmula de distância para calcular o perímetro. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio do círculo. A equação geral do círculo é $ x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 $. Para achar o centro x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 e o raio (h, k), precisamos completar o quadrado nos termos de r e x.
Nossa equação é:
y
Vamos reorganizar:
x^2 + y^2 - 14x - 10y + 24 = 0
Agora, completamos o quadrado para x^2 - 14x + y^2 - 10y = -24 e para x.
Para y:
  1. Pegue o coeficiente de x, que é -14, divida por 2: x.
  2. Eleve ao quadrado: -14/2 = -7.
Para (-7)^2 = 49:
  1. Pegue o coeficiente de y, que é -10, divida por 2: y.
  2. Eleve ao quadrado: -10/2 = -5.
Agora, adicionamos e subtraímos esses valores dentro da equação:
(-5)^2 = 25
(x^2 - 14x + 49) + (y^2 - 10y + 25) = -24 + 49 + 25
Então, o centro (x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 50 é (h, k) e o raio (7, 5) é a raiz quadrada de 50:
r

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados. Isso significa encontrar onde o círculo cruza o eixo x (onde y = 0) e o eixo y (onde x = 0).
Interseção com o eixo x ( y = 0):
Substituímos y = 0 na equação do círculo:
x^2 + 0^2 - 14x - 10(0) + 24 = 0
x^2 - 14x + 24 = 0
Resolvemos essa equação quadrática:
x = 14 pm raiz14^2 - 4 cdot 1 cdot 242
x = 14 pm raiz196 - 962
x = 14 pm raiz1002
x = 14 pm 102
Então, temos duas soluções:
x = 14 + 102 = 12
x = 14 - 102 = 2
Portanto, os pontos de interseção com o eixo x são (12, 0) e (2, 0).

Passo 4

Interseção com o eixo y ( x = 0):
Substituímos x = 0 na equação do círculo:
0^2 + y^2 - 14(0) - 10y + 24 = 0
y^2 - 10y + 24 = 0
Resolvemos essa equação quadrática:
y = 10 pm raiz10^2 - 4 cdot 1 cdot 242
y = 10 pm raiz100 - 962
y = 10 pm raiz42
y = 10 pm 22
Então, temos duas soluções:
y = 10 + 22 = 6
y = 10 - 22 = 4
Portanto, os pontos de interseção com o eixo y são (0, 6) e (0, 4).

Passo 5

Agora que temos os quatro pontos de interseção: (12, 0), (2, 0), (0, 6) e (0, 4), vamos formar um quadrilátero e calcular seu perímetro.
Primeiro, vamos identificar os vértices do quadrilátero:
  • A = (12, 0)
  • B = (2, 0)
  • C = (0, 4)
  • D = (0, 6)
O perímetro é a soma das distâncias entre esses pontos consecutivos. Usaremos a fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $:
(x1, y1)
Vamos calcular cada lado:
  1. Entre (x2, y2) e d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 :
A
  1. Entre B e dAB = raiz(2 - 12)^2 + (0 - 0)^2 = raiz(-10)^2 + 0 = raiz100 = 10 :
B
  1. Entre C e dBC = raiz(0 - 2)^2 + (4 - 0)^2 = raiz(-2)^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5 :
C
  1. Entre D e dCD = raiz(0 - 0)^2 + (6 - 4)^2 = raiz0 + 4 = 2 :
D
Agora, somamos todas as distâncias para encontrar o perímetro:
Aí
dDA = raiz(12 - 0)^2 + (0 - 6)^2 = raiz144 + 36 = raiz180 = 6raiz5 í
Perímetro = dAB + dBC + dCD + dDA í
Perímetro = 10 + 2raiz5 + 2 + 6raiz5 í

Resposta

O centro do círculo é $ (7, 5) $ e o raio é $ 5\sqrt{2} $. Os pontos de interseção com os eixos coordenados são $ (12, 0) $, $ (2, 0) $, $ (0, 6) $ e $ (0, 4) $. O perímetro do quadrilátero formado por esses pontos é $ 12 + 8\sqrt{5} $ unidades.

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