13/05
Considere o círculo 
  no plano cartesiano definido pela equação:
 
Achar o centro e o raio de 
 . Achar os quatro pontos de interseção de 
  com os eixos coordenados. Calcular o perímetro do quadrilátero determinado.
Considere o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um círculo no plano cartesiano definido pela equação $ \mathcal{C}: x^{2} + y^{2} - 14x - 10y + 24 = 0 $. Nosso objetivo é:
- Encontrar o centro e o raio desse círculo.
 - Descobrir os quatro pontos onde o círculo intercepta os eixos coordenados.
 - Calcular o perímetro do quadrilátero formado por esses pontos.
 
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado para achar o centro e o raio, resolver sistemas de equações para encontrar as interseções, e aplicar a fórmula de distância para calcular o perímetro. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio do círculo. A equação geral do círculo é $ x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 $. Para achar o centro 
  e o raio 
 , precisamos completar o quadrado nos termos de 
  e 
 .
Nossa equação é:
Vamos reorganizar:
Agora, completamos o quadrado para 
  e para 
 .
Para 
 :
- Pegue o coeficiente de 
, que é -14, divida por 2: .  - Eleve ao quadrado: 
.  
Para 
 :
- Pegue o coeficiente de 
, que é -10, divida por 2: .  - Eleve ao quadrado: 
.  
Agora, adicionamos e subtraímos esses valores dentro da equação:
Então, o centro 
  é 
  e o raio 
  é a raiz quadrada de 50:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados. Isso significa encontrar onde o círculo cruza o eixo 
  (onde 
 ) e o eixo 
  (onde 
 ).
Interseção com o eixo 
  (
 ):
Substituímos  na equação do círculo:
Substituímos
Resolvemos essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo 
  são 
  e 
 .
Passo 4
Interseção com o eixo 
  (
 ):
Substituímos  na equação do círculo:
Substituímos
Resolvemos essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo 
  são 
  e 
 .
Passo 5
Agora que temos os quatro pontos de interseção: 
 , 
 , 
  e 
 , vamos formar um quadrilátero e calcular seu perímetro.
Primeiro, vamos identificar os vértices do quadrilátero:
O perímetro é a soma das distâncias entre esses pontos consecutivos. Usaremos a fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $:
Vamos calcular cada lado:
- Entre 
e :  
- Entre 
e :  
- Entre 
e :  
- Entre 
e :  
Agora, somamos todas as distâncias para encontrar o perímetro:
Resposta
O centro do círculo é $ (7, 5) $ e o raio é $ 5\sqrt{2} $. Os pontos de interseção com os eixos coordenados são $ (12, 0) $, $ (2, 0) $, $ (0, 6) $ e $ (0, 4) $. O perímetro do quadrilátero formado por esses pontos é $ 12 + 8\sqrt{5} $ unidades.