13/05
Considere o círculo
no plano cartesiano definido pela equação:
Achar o centro e o raio de
. Achar os quatro pontos de interseção de
com os eixos coordenados. Calcular o perímetro do quadrilátero determinado.
Considere o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um círculo no plano cartesiano definido pela equação $ \mathcal{C}: x^{2} + y^{2} - 14x - 10y + 24 = 0 $. Nosso objetivo é:
- Encontrar o centro e o raio desse círculo.
- Descobrir os quatro pontos onde o círculo intercepta os eixos coordenados.
- Calcular o perímetro do quadrilátero formado por esses pontos.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado para achar o centro e o raio, resolver sistemas de equações para encontrar as interseções, e aplicar a fórmula de distância para calcular o perímetro. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio do círculo. A equação geral do círculo é $ x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 $. Para achar o centro
e o raio
, precisamos completar o quadrado nos termos de
e
.
Nossa equação é:
Vamos reorganizar:
Agora, completamos o quadrado para
e para
.
Para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é -14, divida por 2: . - Eleve ao quadrado:
.
Para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é -10, divida por 2: . - Eleve ao quadrado:
.
Agora, adicionamos e subtraímos esses valores dentro da equação:
Então, o centro
é
e o raio
é a raiz quadrada de 50:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados. Isso significa encontrar onde o círculo cruza o eixo
(onde
) e o eixo
(onde
).
Interseção com o eixo
(
):
Substituímos na equação do círculo:
Substituímos
Resolvemos essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Passo 4
Interseção com o eixo
(
):
Substituímos na equação do círculo:
Substituímos
Resolvemos essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Passo 5
Agora que temos os quatro pontos de interseção:
,
,
e
, vamos formar um quadrilátero e calcular seu perímetro.
Primeiro, vamos identificar os vértices do quadrilátero:
O perímetro é a soma das distâncias entre esses pontos consecutivos. Usaremos a fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $:
Vamos calcular cada lado:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Agora, somamos todas as distâncias para encontrar o perímetro:
Resposta
O centro do círculo é $ (7, 5) $ e o raio é $ 5\sqrt{2} $. Os pontos de interseção com os eixos coordenados são $ (12, 0) $, $ (2, 0) $, $ (0, 6) $ e $ (0, 4) $. O perímetro do quadrilátero formado por esses pontos é $ 12 + 8\sqrt{5} $ unidades.