12.11 Utilizando o teorema da convolução, calcule
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s^{2}+3 s-10}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s^{2}+3s-10}\Bigr\}
usando o teorema da convolução. Vamos lembrar que esse teorema diz que, se \displaystyle F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\} e \displaystyle G(s)=\mathscr{L}\{g(t)\},
então
\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}=(f*g)(t)
onde
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Fatorando o denominador temos
s^{2}+3s-10=(s-2)(s+5),
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\frac{3}{s^{2}+3s-10} =\;3\;\frac{1}{s-2}\;\frac{1}{s+5}.

Passo 3

Reconhecemos que \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-2}\}=e^{2t}
e \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+5}\}=e^{-5t}.
Pela convolução,
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-2)(s+5)}\Bigr\} =\int_{0}^{t}e^{2\tau}\,e^{-5(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 4

Calculemos a integral de convolução:
\int_{0}^{t}e^{2\tau}\,e^{-5(t-\tau)}\,d\tau =e^{-5t}\int_{0}^{t}e^{7\tau}\,d\tau =e^{-5t}\,\biggl[\frac{e^{7\tau}}{7}\biggr]_{0}^{t} =\frac{e^{2t}-e^{-5t}}{7}.

Passo 5

Não esqueça do fator 3 que estava fora da convolução. Assim,
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s^{2}+3s-10}\Bigr\} =3\;\frac{e^{2t}-e^{-5t}}{7} =\frac{3}{7}\bigl(e^{2t}-e^{-5t}\bigr).

Resposta

\frac{3}{7}\bigl(e^{2t}-e^{-5t}\bigr)

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