Utilizando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
12.10 Usando transformada de Laplace, resolva
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=x^{2}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y''(x)-y'(x)-2\,y(x)=x^2
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=3, usando transformada de Laplace. Vamos denotar
\mathcal{L}\{y(x)\}=Y(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''-y'-2y = x^2.
Usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}=s\,Y(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{x^2\}=\frac{2}{s^3},
e substituindo y(0)=1, y'(0)=3, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s-3\bigr)\;-\;\bigl(sY(s)-1\bigr)\;-\;2\,Y(s) \;=\;\frac{2}{s^3}.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) e isolando,
(s^2 - s -2)\,Y(s)\;-\;(s+3-1)\;=\;\frac{2}{s^3},
ou seja
(s^2 - s -2)\,Y(s) \;=\;\frac{2}{s^3}+s+2.
Como s^2-s-2=(s-2)(s+1), temos
Y(s) =\frac{\displaystyle\frac{2}{s^3}+s+2}{(s-2)(s+1)} =\frac{(s+2)s^3+2}{s^3\,(s-2)(s+1)} =\frac{s^4+2s^3+2}{s^3\,(s-2)(s+1)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s^4+2s^3+2}{s^3\,(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s^3}+\frac{D}{s-2}+\frac{E}{s+1}.
Determinando os coeficientes por valoração em s=0,2,-1 e comparação de coeficientes, obtemos
A=-\tfrac34,\quad B=\tfrac12,\quad C=-1,\quad D=\tfrac{17}{12},\quad E=\tfrac13.
Logo
Y(s) =-\tfrac34\frac1s+\tfrac12\frac1{s^2}-1\frac1{s^3} +\tfrac{17}{12}\frac1{s-2}+\tfrac13\frac1{s+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac1s\bigr)=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac1{s^2}\bigr)=x,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac1{s^3}\bigr)=\tfrac{x^2}{2},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac1{s-2}\bigr)=e^{2x},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac1{s+1}\bigr)=e^{-x},
resulta
y(x) =-\tfrac34 +\tfrac12\,x -\;1\cdot\frac{x^2}{2} +\tfrac{17}{12}\,e^{2x} +\tfrac13\,e^{-x}.

Resposta

\boxed{ y(x)=\frac{17}{12}e^{2x}+\frac{1}{3}e^{-x}-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{4} }

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