Calcule a transformada inversa de:
1 /\left(s^{2}-a^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa de \frac{1}{s^2 - a^2}. O conteúdo necessário é a transformada de Laplace inversa e iremos usar decomposição em frações parciais e tabelas básicas de transformada inversa.

Passo 2

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{s^2 - a^2} = \frac{1}{(s - a)(s + a)} = \frac{A}{s - a} + \frac{B}{s + a}.
Para determinar A e B, escrevemos
A(s + a) + B(s - a) = 1.
Tomando s = a vem A(2a) = 1, logo A = \frac{1}{2a}. Tomando s = -a vem B(-2a) = 1, logo B = -\frac{1}{2a}. Assim,
\frac{1}{s^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\,\frac{1}{s - a} - \frac{1}{2a}\,\frac{1}{s + a}.

Passo 3

Aplicando a transformada inversa, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s - a}\} = e^{a t}
e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s + a}\} = e^{-a t},
obtém-se
f(t) = \frac{1}{2a}\bigl(e^{a t} - e^{-a t}\bigr) = \frac{1}{a}\operatorname{sinh}\bigl(a t\bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2 - a^2}\Bigr\} = \frac{1}{2a}\bigl(e^{a t} - e^{-a t}\bigr) = \frac{1}{a}\operatorname{sinh}\bigl(a t\bigr).

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