Utilizando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
12.9 Utilizando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial
12.9 Utilizando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para usar a transformada de Laplace e resolver a equação diferencial de primeira ordem
Aqui o conteúdo principal é transformada de Laplace aplicada a equações lineares. Vamos precisar de:
- Propriedade linear e de derivada da transformada de Laplace,
- Transformada de
e transformada inversa, - Álgebra de frações parciais para inverter no domínio de
.
Passo 2
Denotando
aplicamos a transformada de Laplace ao lado esquerdo. Pela propriedade de derivada:
e
Logo, transformando a equação inteira, obtemos
Passo 3
Calculamos a transformada do termo forçado:
Substituindo na equação em
:
Passo 4
Isolamos
:
portanto
Passo 5
Para inverter o segundo termo, fazemos frações parciais em
Temos
e resolvendo os coeficientes surge
Como
, então
e
. Multiplicando por
, obtemos
Somando ao primeiro termo
, resulta
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa em cada parcela:
-
, -
, -
.
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