Utilizando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
12.9 Utilizando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+\frac{x}{T}=\frac{x_{0} t}{T^{2}}, \quad x(0)=x_{0}

Passo 1

O enunciado pede para usar a transformada de Laplace e resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{x}{T}=\frac{x_{0}\,t}{T^{2}}, \quad x(0)=x_{0}.
Aqui o conteúdo principal é transformada de Laplace aplicada a equações lineares. Vamos precisar de:
  1. Propriedade linear e de derivada da transformada de Laplace,
  2. Transformada de t e transformada inversa,
  3. Álgebra de frações parciais para inverter no domínio de s.

Passo 2

Denotando
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\},
aplicamos a transformada de Laplace ao lado esquerdo. Pela propriedade de derivada:
\mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0)=sX(s)-x_{0},
e
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{x(t)}{T}\Bigr\}=\frac{1}{T}X(s).
Logo, transformando a equação inteira, obtemos
sX(s)-x_{0}+\frac{1}{T}X(s) =\mathcal{L}\Bigl\{\frac{x_{0}\,t}{T^{2}}\Bigr\}.

Passo 3

Calculamos a transformada do termo forçado:
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{x_{0}\,t}{T^{2}}\Bigr\} =\frac{x_{0}}{T^{2}}\;\mathcal{L}\{t\} =\frac{x_{0}}{T^{2}}\;\frac{1}{s^{2}}.
Substituindo na equação em s:
\bigl(s+\tfrac{1}{T}\bigr)X(s)-x_{0} =\frac{x_{0}}{T^{2}s^{2}}.

Passo 4

Isolamos X(s):
\bigl(s+\tfrac{1}{T}\bigr)X(s) =x_{0}+\frac{x_{0}}{T^{2}s^{2}},
portanto
X(s) =\frac{x_{0}}{s+\tfrac{1}{T}} +\frac{x_{0}}{T^{2}}\;\frac{1}{s^{2}\,(s+\tfrac{1}{T})}.

Passo 5

Para inverter o segundo termo, fazemos frações parciais em
\frac{1}{s^{2}(s+a)},\quad a=\frac{1}{T}.
Temos
\frac{1}{s^{2}(s+a)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+a},
e resolvendo os coeficientes surge
A=-\frac{1}{a^{2}},\quad B=\frac{1}{a},\quad C=\frac{1}{a^{2}}.
Como a=1/T, então 1/a=T e 1/a^{2}=T^{2}. Multiplicando por x_{0}/T^{2}, obtemos
\frac{x_{0}}{T^{2}}\;\frac{1}{s^{2}(s+\tfrac{1}{T})} =-\frac{x_{0}}{s}+\frac{x_{0}}{T\,s^{2}}+\frac{x_{0}}{s+\tfrac{1}{T}}.
Somando ao primeiro termo \tfrac{x_{0}}{s+1/T}, resulta
X(s) =2\,\frac{x_{0}}{s+\tfrac{1}{T}} -\frac{x_{0}}{s} +\frac{x_{0}}{T\,s^{2}}.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa em cada parcela:
  1. \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+\tfrac{1}{T}}\Bigr\}=e^{-t/T},
  2. \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s}\Bigr\}=1,
  3. \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t.
    Logo
x(t) =2\,x_{0}\,e^{-t/T} -x_{0} +\frac{x_{0}}{T}\,t.

Resposta

\boxed{ x(t) =2\,x_{0}\,e^{-\,t/T} -x_{0} +\frac{x_{0}}{T}\,t. }

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