12-18 (a) Determine uma funçlo f tal que F=nabla fe (b) use a parte (a) para calcular integralc F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y)=x y^2 i+x^2 y j.
C É o arco da hipérbole y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8)

Passo 1

O enunciado pede dois itens. No item (a), temos o campo vetorial
F(x,y)=x,y^2,i+x^2,y,j
e precisamos encontrar uma função potencial f(x,y) tal que F=nabla f. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e identificação de campos conservativos. No item (b), usaremos essa função potencial para avaliar a integral de linha
integralCFcdot dr
ao longo da curva C definida pelo trecho de y=2x^2 de (-1,2) a (2,8), aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.

Passo 2

Verificamos que F é conservativo conferindo
partialpartial yl(x,y^2r) =2x,y, partialpartial xl(x^2,yr) =2x,y,
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partial Ppartial y=partial Qpartial x,
e o domínio de F é todo R^2, portanto F admite potencial.

Passo 3

Para achar f(x,y), integramos a componente P(x,y)=x,y^2 em relação a x:
f(x,y) =integral x,y^2,dx =tfrac12,x^2y^2+phi(y),
onde phi é função de y só. Diferenciando em relação a y,
fy(x,y) =x^2y+phi'(y)
deve coincidir com Q(x,y)=x^2y. Assim phi'(y)=0 e phi é constante. Podemos então tomar
f(x,y)=tfrac12,x^2y^2

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para uma curva de (-1,2) a (2,8) em um campo conservativo vale
integralCFcdot dr = fl(2,8r)-fl(-1,2r)
Calculamos
f(2,8)=tfrac12,(2)^2(8)^2 =tfrac12cdot4cdot64 =128,
f(-1,2)=tfrac12,(-1)^2(2)^2 =tfrac12cdot1cdot4 =2
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integralCFcdot dr =128-2 =126

Resposta

(a) ;f(x,y)=tfrac12,x^2y^2+C
(b) ; integralCFcdot dr=126

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