12-18 (a) Determine uma funçlo
tal que
(b) use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
.
C É o arco da hipérbole
de
a
Passo 1
O enunciado pede dois itens. No item (a), temos o campo vetorial
e precisamos encontrar uma função potencial tal que
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e identificação de campos conservativos. No item (b), usaremos essa função potencial para avaliar a integral de linha
ao longo da curva definida pelo trecho de
de
a
, aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.
e precisamos encontrar uma função potencial
ao longo da curva
Passo 2
Verificamos que
é conservativo conferindo
logo
,
e o domínio de é todo
, portanto
admite potencial.
e o domínio de
Passo 3
Para achar
, integramos a componente
em relação a
:
onde
é função de
só. Diferenciando em relação a
,
deve coincidir com
. Assim
e
é constante. Podemos então tomar
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para uma curva de
a
em um campo conservativo vale
Calculamos
Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)