12.19 A pressão osmótica de uma solução aquosa de albumina de soro bovino com \rho_{\mathrm{B}}=0,0200 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} é 6,1 torr a 0^{\circ} \mathrm{C}. Estime a massa molecular dessa proteína. Explique por que sua resposta é apenas uma estimativa.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a massa molecular (massa molar) da albumina de soro bovino:
  • Densidade da solução de albumina: \rho_{\mathrm{B}}=0,0200\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Pressão osmótica: \pi=6,1\\ \mathrm{torr} a 0^{\circ}\mathrm{C}.
    O que se pede: estimar a massa molecular (massa molar) da proteína, ou seja encontrar M em \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e seu significado.
A pressão osmótica de uma solução diluída segue, em primeira aproximação, a lei de van ’t Hoff:
\pi = c\,R\,T,
onde:
  • \pi é a pressão osmótica (unidades de pressão);
  • c é a concentração molar da soluto (em \mathrm{mol/L});
  • R é a constante universal dos gases, R=0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Explicação do que é c: c é o número de mols por litro de solução. Se a solução tem uma concentração de massa w (em \mathrm{g/L}) e a massa molar da soluto é M (em \mathrm{g/mol}), então
c=\frac{w}{M}.
Substituindo isso na lei de van ’t Hoff:
\pi = \frac{w}{M}\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad M=\frac{w\,R\,T}{\pi}.
Aqui assumimos que cada molécula de proteína contribui como uma única partícula à pressão osmótica (fator de van ’t Hoff i=1) — essa é uma hipótese importante que depois discutimos.

Passo 3

Converter unidades e calcular as quantidades necessárias.
  • Converter a densidade \rho_{\mathrm{B}} em concentração de massa w em \mathrm{g/L}. \rho_{\mathrm{B}=0,0200\\ \mathrm{g/cm^{3}}}\Rightarrow w=0,0200\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^{3}}}\times 1000\\ \frac{\mathrm{cm^{3}}}{\mathrm{L}}=20,0\\ \mathrm{g/L}.Observação: peguei o valor de \rho_{\mathrm{B}} do enunciado.
  • Converter a pressão osmótica de torr para atm: \pi=\frac{6,1}{760}\\ \mathrm{atm}=0,008026\\ \mathrm{atm}.(Usei 1\\ \mathrm{atm}=760\\ \mathrm{torr}.)
  • Temperatura: 0^{\circ}\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}.
  • Produto R\,T: R\,T=0,082057\cdot 273,15\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}} \approx 22,414\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}.(Esse valor é famoso: o volume molar ideal a 273,15\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm} é cerca de 22,414\\ \mathrm{L/mol}.)

Passo 4

Montar a equação para M e isolar M.
A fórmula obtida em bloco anteriormente é
M=\frac{w\,R\,T}{\pi}.
Vamos substituir os valores numéricos que calculamos:
w=20,0\\ \mathrm{g/L},\qquad R\,T\approx22,414\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}},\qquad \pi=0,008026\\ \mathrm{atm}.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado (passo a passo, sem pular contas).
Calcular o numerador:
w\,R\,T = 20,0\times 22,414 = 448,28\\ \mathrm{g\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot L^{-1}\cdot L}=448,28\\ \mathrm{g\cdot atm\cdot mol^{-1}}.
Agora dividir pelo valor de \pi:
M=\frac{448,28}{0,008026} \approx 5,59\times10^{4}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
Arredondando para três dígitos significativos (os dados iniciais têm três algarismos relevantes), obtemos
M\approx 5,59\times10^{4}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e por que essa é só uma estimativa (explicação didática e completa).
Várias razões tornam esse valor uma estimativa aproximada, e é importante entendê-las para saber quando esse método funciona e quando falha:
  1. Hipótese de solução ideal e fator de van ’t Hoff igual a 1. A lei de van ’t Hoff usada pressupõe que as partículas em solução se comportam como partículas ideais (sem interações) e que cada molécula contribui como uma única partícula. Proteínas são grandes, frequentemente carregadas, e interagem entre si e com o solvente; isso altera a pressão osmótica real.
  2. Hidratação e arranjos: proteínas muito grandes levam consigo uma camada de água ligada (hidratação) e podem formar agregados (dímeros, oligômeros). Se parte das proteínas estiver agregada, o número de partículas efetivas na solução diminui, alterando \pi e levando a um erro na estimativa da massa molar.
  3. Efeito dos eletrólitos e íons: se a solução contém sais ou se a proteína é ionizada, a atividade efetiva das partículas muda; contracções iônicas e ecrã eletrostático podem reduzir ou aumentar a pressão osmótica em relação ao ideal.
  4. Concentração não infinitesimalmente baixa: a lei usada é válida estritamente no limite de diluição infinita. Em concentrações finitas (aqui 20,0\\ \mathrm{g/L} não é extremamente baixa para proteínas), há desvios devido a interações e termos superiores na expansão da pressão osmótica (coeficientes viriais osmóticos).
  5. Precisão experimental: conversões de unidades, precisão da medida de \pi, temperatura exata e pureza da amostra também afetam o resultado.
    Por essas razões é esperado que a massa molar calculada por osmose seja apenas aproximada. Para proteínas, costuma-se usar métodos mais confiáveis (por exemplo, eletroforese em gel, espectrometria de massa, cromatografia de exclusão por tamanho) para obter massas molares precisas. Como referência, a albumina bovina tem uma massa molar conhecida na literatura de aproximadamente 6,6\times10^{4}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}; a diferença entre esse valor e nossa estimativa ilustra os efeitos não ideais mencionados.

Resposta

5,59\times10^{4}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}

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