12.52
O calor de fusão do naftaleno é 147 \mathrm{~J} / \mathrm{g}, e seu ponto de fusão é 80^{\circ} \mathrm{C}. Estime a solubilidade em fraçăo molar do naftaleno em benzeno a 25^{\circ} \mathrm{C} e compare com o valor experimental 0,296 . Use uma versão da Eq. (12.46).

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a solubilidade em fração molar do naftaleno em benzeno a 25^\circ\mathrm{C}, usando uma versão da Eq. (12.46), e compare com o valor experimental 0,296.
Informações fornecidas:
  • Calor de fusão do naftaleno: \Delta_{\mathrm{fus}}H = 147\\ \mathrm{J/g}.
  • Ponto de fusão do naftaleno: T_m = 80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura onde queremos a solubilidade: T = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Valor experimental para comparação: x_{\text{exp}} = 0,296.
Dados físicos necessários que vou usar (peguei-os como constantes físicas padrão):
  • Constante dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Massa molar do naftaleno (fórmula \mathrm{C_{10}H_8}): M = 128,17\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
Observações que valem aqui (a serem explicitadas depois): a equação que vou usar assume solução ideal para o soluto no solvente e despreza variação de capacidade calorífica entre sólido e líquido ao fundir (isto é, \Delta C_p desprezível).

Passo 2

Apresento a fórmula que vou usar (versão da Eq. (12.46) para solubilidade de um sólido em solvente, derivada ao igualar potenciais químicos e integrando a relação de van’t Hoff, com \Delta C_p desprezado):
\ln x = -\dfrac{\Delta_{\mathrm{fus}}H}{R}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_m}\right).
Explicando cada termo:
  • x é a fração molar do soluto (aqui, do naftaleno) na solução saturada à temperatura T.
  • \Delta_{\mathrm{fus}}H é o calor molar de fusão do soluto (em \mathrm{J\,mol^{-1}}).
  • R é a constante dos gases ideais ( \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • T é a temperatura onde se quer a solubilidade (em K).
  • T_m é a temperatura de fusão do soluto (em K).
Por que essa fórmula é razoável para usar na prova:
  • Parte-se da igualdade dos potenciais químicos do soluto na fase sólida pura e do soluto dissolvido na fase líquida saturada.
  • Integrando e assumindo \Delta_{\mathrm{fus}}H independente da temperatura e \Delta C_p\approx 0, chega-se a essa expressão simples que relaciona fração molar com as temperaturas e \Delta_{\mathrm{fus}}H.

Passo 3

Converter os dados para as unidades corretas (tudo em SI/molar e temperaturas em Kelvin), e calcular \Delta_{\mathrm{fus}}H por mol:
  • Converter temperaturas:
T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K},
T_m = 80^\circ\mathrm{C} = 80 + 273,15 = 353,15\\ \mathrm{K}.
  • Calor de fusão por mol: o enunciado deu \Delta_{\mathrm{fus}}H = 147\\ \mathrm{J/g}. Multiplico pela massa molar do naftaleno M=128,17\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} para obter \mathrm{J\,mol^{-1}}:
\Delta_{\mathrm{fus}}H_{\text{(mol)}} = 147\\ \mathrm{J/g}\times 128,17\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} = 18841\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
(aproximação com três algarismos significativos).

Passo 4

Agora calculo o fator \dfrac{\Delta_{\mathrm{fus}}H}{R} e a diferença de inversos de temperatura:
  • Primeiro \dfrac{\Delta_{\mathrm{fus}}H}{R}:
\dfrac{\Delta_{\mathrm{fus}}H}{R} = \dfrac{18841\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}}{8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}} \approx 2266{,}5.
  • Depois a diferença de inversos:
\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_m}=\dfrac{1}{298{,}15}-\dfrac{1}{353{,}15}.
Calculo cada termo:
\dfrac{1}{298{,}15}\approx 0{,}0033540\\ \mathrm{K^{-1}}, \qquad \dfrac{1}{353{,}15}\approx 0{,}0028302\\ \mathrm{K^{-1}}.
Portanto
\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_m}\approx 0{,}0033540-0{,}0028302=0{,}0005238\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Substituo os valores na equação para obter \ln x e depois x:
\ln x = -\left(2266{,}5\right)\times 0{,}0005238 \approx -1{,}1873.
Agora exponencio para obter a fração molar:
x = e^{-1{,}1873} \approx 0{,}305.
Interpretação: a estimativa pela equação (com as hipóteses declaradas) dá x\approx 0{,}305.

Passo 6

Comparação com o valor experimental:
  • Valor experimental dado: x_{\text{exp}} = 0,296.
  • Estimativa teórica: x_{\text{teo}} = 0,305.
  • Diferença absoluta: 0,305-0,296 = 0,009.
  • Erro relativo aproximado: \dfrac{0,009}{0,296}\approx 0{,}0304, ou cerca de 3{,}0\%.
Conclusão didática breve: a aproximação usando a Eq. (12.46) (assumindo solução ideal e desprezando \Delta C_p) fornece uma estimativa muito próxima do valor experimental — a discrepância é pequena (~3%), o que indica que as hipóteses foram razoáveis para esse sistema.

Resposta

Estimativa da fração molar do naftaleno em benzeno a 25^\circ\mathrm{C}: x \approx 0,305
Comparação com o experimental: valor experimental 0,296; diferença absoluta 0,009 (erro relativo cerca de 3{,}0\%).

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