12.52
Estime a solubilidade em fração molar do naftaleno em tolueno a 25^{\circ} \mathrm{C} e compare com o valor experimental x\left(\mathrm{C}_{10} \mathrm{H}_{2}\right)=0,286.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a solubilidade em fração molar do naftaleno em tolueno a 25^\circ\mathrm{C} e comparar com o valor experimental x(\mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_8)=0,286.
Informações relevantes que usarei (valores tabelados, típicos para naftaleno):
  • Temperatura de interesse: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de fusão do naftaleno: T_{\mathrm{fus}} \approx 80{,}3^\circ\mathrm{C}=353{,}45\\ \mathrm{K}.
  • Entalpia de fusão do naftaleno: \Delta H_{\mathrm{fus}}\approx 19{,}8\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=1{,}98\times10^{4}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
O que vou entregar: um cálculo passo a passo usando a relação termodinâmica que liga solubilidade de um sólido puro em solvente ideal com \Delta H_{\mathrm{fus}} e T_{\mathrm{fus}}, e ao final a comparação com o valor experimental fornecido.

Passo 2

Qual é a fórmula que vamos usar e por que ela vale?
Explicação física e derivação curta e intuitiva (sem pular etapas):
  • Em equilíbrio de um sólido puro com sua solução ideal, o potencial químico do soluto na solução ideal é dado por \mu_{\text{solu}}=\mu_{\text{solu}}^\circ + RT\ln x, onde x é a fração molar do soluto na fase líquida e \mu_{\text{solu}}^\circ é o potencial químico padrão do soluto líquido hipotético.
  • Em equilíbrio com o sólido puro temos \mu_{\text{solu}}=\mu_{\text{sólido}}ó.
  • Comparando as expressões e integrando a dependência com a temperatura, e assumindo que a entalpia de fusão \Delta H_{\mathrm{fus}} é aproximadamente constante entre T e T_{\mathrm{fus}}, obtém-se a relação (fórmula padrão usada para estimar solubilidades):
\ln x = -\frac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\mathrm{fus}}}\right).
Aqui:
  • \ln x é o logaritmo natural da fração molar do soluto na solução.
  • \Delta H_{\mathrm{fus}} é a entalpia molar de fusão do soluto (em J·mol^{-1}).
  • R é a constante dos gases.
  • T é a temperatura onde se quer a solubilidade (em K).
  • T_{\mathrm{fus}} é a temperatura de fusão do soluto (em K).
Observação sobre hipóteses: essa fórmula assume solução ideal (atividade ≈ fração molar) e \Delta H_{\mathrm{fus}} constante com T. Para muitas estimativas ela funciona bem.

Passo 3

Vamos organizar os dados numéricos (todos mostrados em unidades compatíveis):
  • T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_{\mathrm{fus}}=353{,}45\\ \mathrm{K}.
  • \Delta H_{\mathrm{fus}}=1{,}98\times10^{4}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Nota amigável: estes números para T_{\mathrm{fus}} e \Delta H_{\mathrm{fus}} foram tomados de tabelas de propriedades físicas do naftaleno (valores típicos). Se o seu professor usar valores ligeiramente diferentes, o resultado numérico mudará um pouco, mas a metodologia é a mesma.

Passo 4

Calcular a diferença de inversos de temperatura \left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_{\mathrm{fus}}}\right).
Calcule cada inverso:
\frac{1}{T}=\frac{1}{298{,}15}=0{,}0033540\\ \mathrm{K^{-1}}
\frac{1}{T_{\mathrm{fus}}}=\frac{1}{353{,}45}=0{,}0028289\\ \mathrm{K^{-1}}
Agora a diferença:
\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\mathrm{fus}}}=0{,}0033540-0{,}0028289=0{,}0005251\\ \mathrm{K^{-1}}.
Explicação curta: é isso que mede “quão distante” estamos da temperatura de fusão em termos de inverso de temperatura; quanto maior a diferença, menor tende a ser x.

Passo 5

Calcular o fator multiplicativo \dfrac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{R}.
\frac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{R}=\frac{1{,}98\times10^{4}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}}{8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}}=2381{,}6\\ \mathrm{K}.
Comentário: a unidade resultante é K porque J·mol^{-1} sobre J·mol{-1}·K{-1} deixa K.

Passo 6

Multiplicar os termos para obter \ln x:
\ln x = -\left(2381{,}6\right)\times\left(0{,}0005251\right) = -1{,}251\\ (\text{aproximadamente}).
Explicação prática: fiz a multiplicação direta; se estiver sem calculadora na prova pode usar aproximações, mas aqui mantivemos 4 casas decimais para clareza.

Passo 7

Obter x exponenciando:
x=\exp(-1{,}251)=0{,}286\\ (\text{aproximadamente}).
Breve intuição: \ln x negativo indica x<1; o valor -1{,}251 corresponde a x cerca de 0{,}286.

Passo 8

Compare o resultado calculado com o valor experimental fornecido e comente sobre precisão e hipóteses.
  • Estimativa teórica: x\approx0{,}286.
  • Valor experimental dado no enunciado: x(\mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_8)=0{,}286.
Conclusão: a estimativa usando a relação da entalpia de fusão coincide muito bem com o valor experimental apresentado. Isso indica que, para este sistema (naftaleno em tolueno) e nessa faixa de temperatura, as hipóteses da fórmula (solução aproximadamente ideal e \Delta H_{\mathrm{fus}} pouco dependente de T) são razoáveis.

Resposta

x\approx0{,}286
Comparação: valor estimado igual ao experimental x(\mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_8)=0{,}286.

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