Se 12 bolas são colocadas aleatoriamente em 20 caixas, qual é a probabilidade (clássica) de nenhuma caixa receber mais do que uma bola?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade clássico: colocar 12 bolas aleatoriamente em 20 caixas e descobrir qual é a chance de nenhuma caixa receber mais de uma bola. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades clássicas e arranjos. Vamos passo a passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em quantas maneiras podemos distribuir as 12 bolas nas 20 caixas sem nenhuma restrição. Cada bola tem 20 opções de caixas, então, para 12 bolas, o total de possíveis distribuições é 20^12.

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas dessas distribuições nenhuma caixa recebe mais de uma bola. Isso significa que todas as 12 bolas vão para caixas diferentes. Para isso, usamos o conceito de permutação: a primeira bola tem 20 opções, a segunda tem 19 (para não repetir a caixa da primeira), a terceira tem 18, e assim por diante, até a 12ª bola, que terá 20 - 11 = 9 opções.

Passo 4

Então, o número de distribuições onde nenhuma caixa recebe mais de uma bola é:
20 times 19 times 18 times dots times 9 = 20!(20 - 12)! = 20!8!

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de distribuições favoráveis pelo total de distribuições possíveis:
Probabilidade = 20!8!20^12 = 20!8! times 20^12

Resposta

A probabilidade de nenhuma caixa receber mais do que uma bola é:
20!8! times 20^12 approx 0,00013
Ou seja, aproximadamente 0,013%.

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