A resistência do concreto à compressão (que supõe-se normalmente distribuída) está sendo estudada e três técnicas diferentes ( A, B e C ) de misturas estão sendo avaliadas. Os seguintes dados foram coletados.
Resistência à Compressão (psi) Técnica de Mistura
3200 A
3229 A
3200 B
3300 B
3300 C
3600 C
Avaliar se existe evidência que técnica de mistura influencia na média populacional da resistência à compressão. Ou seja, faça o teste de hipóteses H0: muA=muB=muC versus H1 :Caso Conrário. Use um nível de confiança igual a 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o tipo de técnica de mistura usada no concreto (A, B ou C) influencia na média da resistência à compressão. Isso faz parte da matéria de Estatística, especificamente dos Testes de Hipóteses e ANOVA (Análise de Variância). Para resolver, vamos precisar calcular médias, variâncias e usar o teste ANOVA para comparar as médias das três técnicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Resistência à Compressão (psi) Técnica de Mistura
3200 A
3229 A
3200 B
3300 B
3300 C
3600 C

Passo 3

Vamos calcular a média de resistência para cada técnica:
  • Técnica A:
    muA = 3200 + 32292 = 64292 = 3214.5 , psi
  • Técnica B:
    muB = 3200 + 33002 = 65002 = 3250 , psi
  • Técnica C:
    muC = 3300 + 36002 = 69002 = 3450 , psi

Passo 4

Agora, calculamos a média geral ( mu) considerando todas as observações:
mu = 3200 + 3229 + 3200 + 3300 + 3300 + 36006 = 190296 approx 3171.5 , psi

Passo 5

Vamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula ( H0): As médias das resistências são iguais para todas as técnicas.
    H0: muA = muB = muC
  • Hipótese Alternativa ( H1): Pelo menos uma das médias é diferente.
    H1: Pelo menos uma mu é diferente é

Passo 6

Vamos calcular os Quadrados necessários para o ANOVA:
  • Soma dos Quadrados Total (SST):
    SST = sum (Xi - mu)^2
    Calculando para cada observação:
    (3200 - 3171.5)^2 = 28.5^2 = 812.25
    (3229 - 3171.5)^2 = 57.5^2 = 3306.25
    (3200 - 3171.5)^2 = 28.5^2 = 812.25
    (3300 - 3171.5)^2 = 128.5^2 = 16522.25
    (3300 - 3171.5)^2 = 128.5^2 = 16522.25
    (3600 - 3171.5)^2 = 428.5^2 = 183737.25
    Somando tudo:
    SST = 812.25 + 3306.25 + 812.25 + 16522.25 + 16522.25 + 183737.25 = 231,700.5
  • Soma dos Quadrados Entre os Grupos (SSB):
    SSB = nA (muA - mu)^2 + nB (muB - mu)^2 + nC (muC - mu)^2
    Onde nA = nB = nC = 2.
    SSB = 2 (3214.5 - 3171.5)^2 + 2 (3250 - 3171.5)^2 + 2 (3450 - 3171.5)^2
    = 2 (43)^2 + 2 (78.5)^2 + 2 (278.5)^2
    = 2 (1849) + 2 (6162.25) + 2 (77522.25)
    = 3698 + 12324.5 + 155044.5 = 170067
  • Soma dos Quadrados Dentro dos Grupos (SSW):
    SSW = SST - SSB = 231700.5 - 170067 = 61633.5

Passo 7

Agora, determinamos os graus de liberdade:
  • Graus de Liberdade Entre os Grupos ( dfentre):
    dfentre = k - 1 = 3 - 1 = 2
    Onde k é o número de grupos.
  • Graus de Liberdade Dentro dos Grupos ( dfdentro):
    dfdentro = N - k = 6 - 3 = 3
    Onde N é o total de observações.

Passo 8

Calculamos as Médias dos Quadrados:
  • Média dos Quadrados Entre os Grupos ( MSB):
    MSB = SSBdfentre = 1700672 = 85033.5
  • Média dos Quadrados Dentro dos Grupos ( MSW):
    MSW = SSWdfdentro = 61633.53 approx 20544.5

Passo 9

Calculamos o Estatístico F:
F = MSBMSW = 85033.520544.5 approx 4.136

Passo 10

Vamos verificar o valor crítico de F para um nível de confiança de 95%, com dfentre = 2 e dfdentro = 3. Consultando uma tabela de distribuição F, o valor crítico é aproximadamente 9.55.

Passo 11

Comparamos nosso valor de F calculado com o valor crítico:
4.136 < 9.55
Isso significa que não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para concluir que a técnica de mistura influencia na média da resistência à compressão do concreto ao nível de confiança de 95 %.

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