Suponhamos que kk pessoas irão se sentar aleatoriamente em nn cadeiras alinhadas em fila (de um teatro). Qual é a probabilidade (clássica) de kk pessoas ocuparem cadeiras adjacentes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade clássica e envolve pessoas se sentando aleatoriamente em cadeiras alinhadas, como num teatro. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de exatamente k pessoas ocuparem k cadeiras que estão todas juntas, ou seja, adjacentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações e permutações.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em quantas maneiras diferentes k pessoas podem se sentar em n cadeiras sem nenhuma restrição. Isso envolve duas etapas: escolher quais cadeiras serão ocupadas e depois arrumar as pessoas nessas cadeiras.
Para escolher quais cadeiras serão ocupadas, usamos combinações. A quantidade de combinações de n cadeiras tomadas k a k é dada por:
Depois de escolher as cadeiras, precisamos arrumar as k pessoas nessas cadeiras, e isso é uma permutação simples, que é:
Então, o número total de maneiras de k pessoas se sentarem em n cadeiras é:
Passo 3
Agora vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, de k pessoas se sentarem em k cadeiras adjacentes. Pense nas cadeiras alinhadas: para que k cadeiras fiquem todas juntas, elas podem começar na cadeira 1 até na cadeira n - k + 1. Isso porque se começarem depois disso, não terão cadeiras suficientes para ficarem todas juntas.
Então, o número de blocos de k cadeiras adjacentes é:
Dentro de cada bloco, as k pessoas podem se arrumar de k! maneiras diferentes. Portanto, o número total de maneiras favoráveis é:
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade desejada, basta dividir o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis. Assim, a probabilidade P de k pessoas ocuparem k cadeiras adjacentes é:
Simplificando isso, percebemos que:
Onde C(n, k) é o número de combinações de n cadeiras tomadas k a k.
Resposta
A probabilidade de k pessoas ocuparem k cadeiras adjacentes em n cadeiras alinhadas é:
Ou, de forma simplificada: