3.12 Calcule a derivada d yd x se x e y são relacionados por sen(y)+cos (x)=sen(y) cos (x).

Passo 1

Nesse exercício somos convidados a calcular a derivada dydx a partir da relação implícita entre x e y:
sin(y)+cos(x)=sin(y)cos(x)
O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e a regra do produto para as funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Primeiro escrevemos:
ddx[sin(y)] + ddx[cos(x)] = ddx[sin(y)cos(x)]
Pela regra da cadeia e do produto obtemos:
cos(y)dydx - sin(x) = l(cos(y)dydxr)cos(x) + sin(y)(-sin(x))
Isto é,
cos(y)dydx - sin(x) = cos(y)cos(x)dydx - sin(y)sin(x)

Passo 3

Agora vamos agrupar os termos que contêm dydx num mesmo lado e os demais do outro. Subtraindo cos(y)cos(x)dydx e somando sin(x) em ambos os lados, obtemos:
cos(y)dydx - cos(y)cos(x)dydx = sin(x) - sin(y)sin(x)
Fatorando dydx no lado esquerdo e sin(x) no direito, temos:
dydxl[cos(y)(1 - cos(x))r] = sin(x)(1 - sin(y))

Passo 4

Para finalizar, isolamos dydx dividindo pelo fator cos(y)(1-cos(x)). Portanto, a derivada fica:
dydx = sin(x)l(1 - sin(y)r)cos(y)l(1 - cos(x)r)

Resposta

dydx = sin(x)l(1 - sin(y)r)cos(y)l(1 - cos(x)r).

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