3.12 Calcule a derivada
se
e
são relacionados por
.
Passo 1
Nesse exercício somos convidados a calcular a derivada
a partir da relação implícita entre
e
:
O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e a regra do produto para as funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Primeiro escrevemos:
Pela regra da cadeia e do produto obtemos:
Isto é,
Passo 3
Agora vamos agrupar os termos que contêm
num mesmo lado e os demais do outro. Subtraindo
e somando
em ambos os lados, obtemos:
Fatorando
no lado esquerdo e
no direito, temos:
Passo 4
Para finalizar, isolamos
dividindo pelo fator
. Portanto, a derivada fica: